Question

12．如圖，∠BAC=90°，以AB為直徑作⊙O，BD∥OC交⊙O于D點，CD與AB的延長線交于點E．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若BE=2，DE=4，求CD的長；
（3）在（2）的條件下，如圖2，AD交BC、OC分別于F、G，求$\frac{BF}{CF}$的值．

Answer 1

分析 （1）連接OD，如圖1，利用平行線的性質得∠1=∠3，∠2=∠4，加上∠3=∠4，則∠1=∠2，于是可根據“SAS”判定△CDO≌△CAO，則∠CDO=∠CAO=90°，然后根據切線的判定定理可得到CD是⊙O的切線；
（2）設⊙O半徑為r，則OD=OB=r，在Rt△ODE中利用勾股定理得到r²+4²=（r+2）²，解得r=3，即OB=3，然后根據平行線分線段成比例定理，由DB∥OC得到DE：CD=BE：OB，于是可計算出CD=6；
（3）如圖3，由△CDO≌△CAO得到AC=CD=6，在Rt△AOC中利用勾股定理計算出OC=3$\sqrt{5}$，再證明Rt△OAG∽△OCA，利用相似比計算出OG=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，則CG=OC-OG=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，易得BD=2OG=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，然后利用CG∥BD得到$\frac{BF}{CF}$=$\frac{BD}{CG}$=$\frac{1}{2}$．

解答 （1）證明：連接OD，如圖1，
∵BD∥OC，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
又∵OD=OB，
∴∠3=∠4，
∴∠1=∠2，
在△CAO和△CDO中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OD}\\{∠1=∠2}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴△CDO≌△CAO，
∴∠CDO=∠CAO=90°，
∴CD⊥OD，
∴CD是⊙O的切線；
（2）解：設⊙O半徑為r，則OD=OB=r，
在Rt△ODE中，∵OD²+DE²=OE²，
∴r²+4²=（r+2）²，解得r=3，
∴OB=3，
∵DB∥OC，
∴DE：CD=BE：OB，即4：CD=2：3，
∴CD=6；
（3）解：如圖2，
由（1）得△CDO≌△CAO，
∴AC=CD=6，
在Rt△AOC中，OC=$\sqrt{A{C}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∵∠AOG=∠COA，
∴Rt△OAG∽△OCA，
∴OA：OC=OG：OA，即3：3$\sqrt{5}$=OG：3，
∴OG=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴CG=OC-OG=3$\sqrt{5}$-$\frac{3\sqrt{5}}{5}$=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，
∵OG∥BD，OA=OB，
∴OG為△ABD的中位線，
∴BD=2OG=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∵CG∥BD，
∴$\frac{BF}{CF}$=$\frac{BD}{CG}$=$\frac{\frac{6\sqrt{5}}{5}}{\frac{12\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握切線的判定定理；會利用三角形全等解決角和線段相等的問題；能運用勾股定理、平行線分線段成比例定理和相似比計算線段的長．