Question

3．等腰三角形ABC中，∠A=30°，AB=8，求AB邊上的高CD的長．

Answer 1

分析 ①當∠A為底角時，首先計算出∠CBD=60°，然后再計算出∠BCD的度數，再根據直角三角形的性質可得BD的長，再利用勾股定理計算出CD長即可；
②當∠A為頂角時，直接利用在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得答案；
③當∠A為底角，AB為底邊，利用勾股定理以及在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得答案．

解答 解：①當∠A為底角時，
∵∠A=30°，AB=CB=8，
∴∠ACB=30°，
∴∠CBD=60°，
∵CD⊥AD，
∴∠BCD=30°，
∴BD=$\frac{1}{2}$CB=4，
∴CD=$\sqrt{C{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{64-16}$=4$\sqrt{3}$；
②當∠A為頂角時，
∵CD⊥AB，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC，
∵AB=AC，
∴AC=8，
∴CD=4，
③當∠A為底角，AB為底邊，
則AC=BC，AC=BD，
∵CD⊥AB，
∴AD=BD=4，
設DC=x，則AC=2x，
故x²+4²=4x²，
解得：x=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
∴CD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
綜上：AB邊上的高CD的長為4或4$\sqrt{3}$或$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點評 此題主要考查了直角三角形的性質，關鍵是掌握在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．