Question

11．如圖，在平面直角坐標系中，O為原點，直線AB分別與x軸、y軸交于B和A，與反比例函數的圖象交于C、D，CE⊥x軸于點E，tan∠ABO=$\frac{1}{2}$，OB=4，OE=2．
（1）求直線AB和反比例函數的解析式；
（2）求△OCD的面積；
（3）直接寫出使一次函數值小于反比例函數值的x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據已知條件求出A、B、C點坐標，用待定系數法求出直線AB和反比例的函數解析式；
（2）聯立一次函數的解析式和反比例的函數解析式可得交點D的坐標，從而根據三角形面積公式求解；
（3）根據函數的圖象和交點坐標即可求得．

解答 解：（1）∵OB=4，OE=2，
∴BE=2+4=6．
∵CE⊥x軸于點E，tan∠ABO=$\frac{AO}{BO}$=$\frac{CE}{BE}$=$\frac{1}{2}$．
∴OA=2，CE=3．
∴點A的坐標為（0，2）、點B的坐標為C（4，0）、點C的坐標為（-2，3）．
設直線AB的解析式為y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{0+b=2}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$．
故直線AB的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2．
設反比例函數的解析式為y=$\frac{m}{x}$（m≠0），
將點C的坐標代入，得3=$\frac{m}{-2}$，
∴m=-6．
∴該反比例函數的解析式為y=-$\frac{6}{x}$．

（2）聯立反比例函數的解析式和直線AB的解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{6}{x}}\\{y=-\frac{1}{2}x+2}\end{array}\right.$，
可得交點D的坐標為（6，-1），
則△BOD的面積=4×1÷2=2，
△BOC的面積=4×3÷2=6，
故△OCD的面積為2+6=8；
（3）由圖象得，一次函數值小于反比例函數值的x的取值范圍：-2＜x＜0或x＞6．

點評 本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題：求反比例函數與一次函數的交點坐標，把兩個函數關系式聯立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．