Question

13．如圖是以定長AB為直徑的⊙O，CD為$\widehat{ANB}$上的一條動弦（點C與A，點D與B不重合），CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E．
（1）求證：AF=BE；
（2）若弦CD的長度保持不變，四邊形CDEF的面積是否也保持不變？并請說明理由．

Answer 1

分析 （1）作OM⊥CD于M，根據(jù)垂徑定理得到CM=DM，根據(jù)平行線等分線段定理證明結(jié)論；
（2）根據(jù)梯形中位線定理和梯形的面積公式解答即可．

解答 （1）證明：作OM⊥CD于M，
則CM=DM，
∵CF⊥CD，DE⊥CD，OM⊥CD，
∴CF∥OM∥DE，又CM=DM，
∴OF=OE，又OA=OB，
∴OA-OF=OB-OE，即AF=BE；
（2）∵弦CD的長度保持不變，
∴弦心距OM的長度保持不變，
由（1）得，OM是梯形CDEF的中位線，
∴OM=$\frac{1}{2}$（CF+DE），
∵四邊形CDEF的面積=OM×CD，
∴四邊形CDEF的面積保持不變．

點評 本題考查的是垂徑定理、梯形中位線定理的應(yīng)用，掌握垂直弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧、梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半是解題的關(guān)鍵．