Question

20．如圖，△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，連接BD，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，連接CF并延長至G，使FG=CF，連接EC，CE=10，CF=4，EG=6，則S_△ABC=2$\sqrt{130}$．

Answer 1

分析 根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠G=90°，過G作GH⊥CD交DC延長線于H，推出△CEG∽△GCH，設(shè)CH=3x，則GH=4x，CG=5x=8，得到DH=$\frac{24}{5}$，根據(jù)勾股定理得到DG=$\sqrt{D{H}^{2}+G{H}^{2}}$=$\sqrt{\frac{6500}{25}}$=$\sqrt{260}$推出四邊形DGBC是平行四邊形根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到結(jié)論．

解答 解：∵FG=CF，
∴CG=2×4=8，EG=6，CE=10，
∴CG²+EG²=CE²，
∴∠G=90°，
過G作GH⊥CD交DC延長線于H，
有∠HCG=∠CEG（等角的余角相等），
∵∠H=∠CGE=90°，
∴△CEG∽△GCH，
∴$\frac{CH}{GH}$=$\frac{GE}{CG}$=$\frac{3}{4}$，
設(shè)CH=3x，則GH=4x，CG=5x=8，
∴x=$\frac{8}{5}$，
∴CH=$\frac{24}{5}$，GH=$\frac{32}{5}$，
∵CD=CE=10
∴DH=$\frac{24}{5}$，
∴DG=$\sqrt{D{H}^{2}+G{H}^{2}}$=$\sqrt{\frac{6500}{25}}$=$\sqrt{260}$，
∵DF=BF，CF=FG，
∴四邊形DGBC是平行四邊形，
∴BC=DG=$\sqrt{260}$，AB=$\sqrt{2}$BC=2$\sqrt{130}$．
故答案為：2$\sqrt{130}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理的逆定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．