Question

11．已知函數y=mx²+（2m+1）x+2（m為實數）．
（1）請探究該函數圖象與x軸的公共點個數的情況（要求說明理由）；
（2）在圖中給出的平面直角坐標系中分別畫出m=-1和m=1的函數圖象，并根據圖象直接寫出它們的交點坐標；
（3）探究：對任意實數m，函數的圖象是否一定過（2）中的點，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）分m=0和m≠0兩種情況討論；
（2）m=-1時y=-x²-x+2、m=1時y=x²+3x+2，畫出函數圖象，根據函數圖象得出交點；
（3）在y=mx²+（2m+1）x+2=（x+2）（mx+1）中，可知無論m為何值，x=0時y=2、x=-2時y=0，即可得．

解答 解：（1）當m=0時，y=x+2，此直線與x軸交于（-2，0）；
當m≠0時，△=（2m+1）²-8m=（2m-1）²≥0，
∴此拋物線在m=$\frac{1}{2}$時，與x軸只有一個公共點；在m≠$\frac{1}{2}$時，與x軸有2個交點；

（2）當m=-1時，拋物線解析式為y=-x²-x+2，
當m=1時，拋物線解析式為y=x²+3x+2，
函數圖象如下：

由函數圖象知，兩拋物線的交點為（-2，0）和（0，2）；

（3）對任意實數m，函數的圖象一定過（-2，0）和（0，2），理由如下：
在函數y=mx²+（2m+1）x+2中，
無論m為何值，當x=0時，y的值均為2，即橫過點（0，2），
∵y=mx²+（2m+1）x+2=（x+2）（mx+1），
∴當x=-2時，y的值均為0，即函數圖象橫過（-2，0），
故無論m為何值，函數的圖象（-2，0）和（0，2）兩點．

點評 本題主要考查拋物線與x軸的交點，熟練掌握拋物線與x軸交點情況取決于△的值及函數圖象的畫法、分類討論思想的運用是解題的關鍵．