Question

1．如圖，拋物線y=-x²+mx+n與x軸分別交于點A（4.0），B（-2.0）．與y軸交于點C
（I）求該拋物線的解析式：
（2）在拋物線的對稱軸上是存在這樣的點P．使得△PAC為直角三角形？若存在．請求出所有可能點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法將A（4，0）和B（-2，0）代入y=-x²+mx+n，求出即可；
（2）分三種情況：①當∠ACP=90°時；②當∠CAP=90°時；③當∠APC=90°時；討論求解．

解答 解：（1）∵y=-x²+mx+n與x軸分別交于點A（4，0），B（-2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-16+4m+n=0}\\{-4-2m+n=0}\end{array}\right.$，
 解得$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=8}\end{array}\right.$．
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+8．

（2）∵拋物線的對稱軸為x=1，且點C（0，8），
∴設點P（1，m），
則PA²=9+m²，PC²=1+（8-m）²，AC²=16+64=80，
①當∠PCA=90°時，PC²+AC²=PA²，即1+（8-m）²+80=9+m²，
解得：m=8.5，
∴點P的坐標為（1，8.5）；
②∠PAC=90°時，PA²+AC²=PC²，即9+m²+80=1+（8-m）²，
解得：m=-1.5，
∴點P的坐標為（1，-1.5）；
③當∠APC=90°時，PA²+PC²=AC²，即9+m²+1+（8-m）²=80，
解得：m=4$±\sqrt{19}$，
∴點P的坐標為（1，4+$\sqrt{19}$）或（1，4-$\sqrt{19}$）．

點評 此題主要考查了待定系數法求二次函數解析式、兩點間的距離公式\勾股定理逆定理等，二次函數這部分經常利用數形結合以及分類討論思想相結合，綜合性較強注意不要漏解．