Question

9．如圖，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A（3，0），C（-1，0）兩點，與y軸交于點B（0，3），點P為拋物線對稱軸上一動點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若△PBA的面積與△ABC的面積相等，求點P的坐標；
（3）過點B作BD∥CA，交拋物線于點D，拋物線上是否存在一點E，使∠EBD=∠CBO，若存在，請求出E點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先設拋物線的解析式為：y=a（x-3）（x+1），直接利用待定系數法求解即可求得答案；
（2）首先求得拋物線的對稱軸，求得直線AB的解析式，即可求得直線AB與對稱軸的交點坐標，然后設點P的坐標為（1，m），易得$\frac{3}{2}$|m-2|=6，即可求得答案；
（3）首先過點E作BD的垂線，易得△E₁BG∽△CBO，△E₂BH∽△CBO，繼而求得答案．

解答 解：（1）設拋物線的解析式為：y=a（x-3）（x+1），
將B（0，3）代入，3=-3a，
解得：a=-1，
∴拋物線的解析式為：y=-（x-3）（x+1），
即y=-x²+2x+3；

（2）設直線AB的解析式為：y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{k=-1}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為：y=-x+3，
設直線AB交拋物線對稱于點M，
∵拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A（3，0），C（-1，0）兩點，
∴對稱軸為：x=1，
則M的坐標為（1，2），
∵點P為拋物線對稱軸上一動點，
∴設點P的坐標為（1，m），則PM=|m-2|，
∴S_△ABP=$\frac{1}{2}$×|m-2|×3=$\frac{3}{2}$|m-2|，S_△ABC=$\frac{1}{2}$×4×3=6，
∵△PBA的面積與△ABC的面積相等，
∴$\frac{3}{2}$|m-2|=6，
解得：m=6或m=-2，
∴點P的坐標為（1，6）或（1，-2）；

（3）存在．
如圖2，設E的坐標為：（x，-x²+2x+3），
過點E₁作E₁G⊥BD于點G，則E₁G=-x²+2x+3-3=-x²+2x，BG=x，∠BGE=∠BOC=90°，
∵∠EBD=∠CBO，
∴△E₁BG∽△CBO，
∴BG：BO=E₁G：CO，
∴$\frac{x}{3}=\frac{-{x}^{2}+2x}{1}$，
解得：x₁=0（舍去），x₂=$\frac{5}{3}$，
∴點E₁的坐標為：（$\frac{5}{3}$，$\frac{32}{9}$）；
過點E₂作E₂H⊥BD于點H，則E₂H=3-（-x²+2x+3）=x²-2x，BH=x，∠BHE=∠BOC=90°，
∵∠EBD=∠CBO，
∴△E₂BH∽△CBO，
∴BH：BO=E₂H：CO，
∴$\frac{x}{3}=\frac{{x}^{2}-2x}{1}$，
解得：x₁=0（舍去），x₂=$\frac{7}{3}$，
∴點E₂的坐標為：（$\frac{7}{3}$，$\frac{20}{9}$）；
綜上所述：點E的坐標為：（$\frac{5}{3}$，$\frac{32}{9}$）或（$\frac{7}{3}$，$\frac{20}{9}$）．

點評 此題屬于二次函數的綜合題．考查了待定系數求函數解析式的知識、三角形面積問題以及相似三角形的判定與性質．注意掌握割補法求面積，構造相似三角形是解此題的關鍵．