Question

11．如圖，在△ABC中，AB=AC，過點B作BD⊥BC，BD=BC，連接AD交BC于點F．E是CD的中點，連接AE交BC于G．
（1）若AB=BD，求∠ADC的度數；
（2）若BC=4BF，且AB=4，求四邊形ABDC的面積．

Answer 1

分析 （1）首先證明△ABC是等邊三角形，推出∠ABC=60°，由BA=BC=BD，推出A、C、D三點在⊙B上，即可推出∠ADC=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°．
（2）連接BE．由∠DBC=90°，DE=EC，推出BE=EC=DE，由AB=AC，推出AE垂直平分BC，推出BG=CG，設BG=CG=a，則BC=BD=2a，由BF=$\frac{1}{4}$BC，推出BF=FG，由BD∥AG，推出△BFD∽△GFA，可得$\frac{BF}{FG}$=$\frac{BD}{AG}$=1，推出BD=AG=2a，在Rt△ABG中，根據AB²=AG²+BG²，列出方程求出a即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，

∵AB=AC，BD=BC，AB=BD，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=60°，
∵BA=BC=BD，
∴A、C、D三點在⊙B上，
∴∠ADC=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°．

（2）如圖2中，連接BE．

∵∠DBC=90°，DE=EC，
∴BE=EC=DE，∵AB=AC，
∴AE垂直平分BC，
∴BG=CG，設BG=CG=a，則BC=BD=2a，
∵BF=$\frac{1}{4}$BC，
∴BF=FG，
∵BD∥AG，
∴△BFD∽△GFA，
∴$\frac{BF}{FG}$=$\frac{BD}{AG}$=1，
∴BD=AG=2a，
在Rt△ABG中，∵AB²=AG²+BG²，
∴16=a²+4a²，
∴a²=$\frac{16}{5}$，
∴S_{四邊形ABCD}=$\frac{1}{2}$•BC•AG+$\frac{1}{2}$•BC•BD=$\frac{1}{2}$×2a×2a+$\frac{1}{2}$×2a×2a=4a²=$\frac{64}{5}$．

點評 本題考查等邊三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質、勾股定理、四邊形的面積、圓周角定理等知識，解題的關鍵是學會利用輔助圓解決角度問題，屬于中考常考題型．