Question

16．已知m，n，p滿足|m-1|+|n+1|+$\sqrt{（m-2）{n}^{2}}$+m²+p²=1+2mp，求m+n+p的值．

Answer 1

分析 先移項后配方，根據(jù)二次根式被開方數(shù)的非負性，將n的取值分兩種情況進行討論：①當n=0時，②當n≠0時，分別列式可求得三個字母的值并相加．

解答 解：|m-1|+|n+1|+$\sqrt{（m-2）{n}^{2}}$+m²+p²=1+2mp，
|m-1|+|n+1|+$\sqrt{（m-2）{n}^{2}}$+m²-2mp+p²=1，
|m-1|+|n+1|+$\sqrt{（m-2）{n}^{2}}$+（m-p）²=1，
∵（m-2）n²≥0，
分兩種情況：
①當n=0時，|m-1|+1+（m-p）²=1，
|m-1|+（m-p）²=0，
則$\left\{\begin{array}{l}{m-1=0}\\{m-p=0}\end{array}\right.$，
∴m=p=2，
∴m+n+p=1+0+1=2，
②當n≠0時，m≥2，
∴|m-1|≥1，
∵|n+1|≥0，$\sqrt{（m-2）{n}^{2}}$≥0，（m-p）²≥0，
則$\left\{\begin{array}{l}{m-1=1}\\{n+1=0}\\{（m-2）{n}^{2}=0}\\{m-p=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=p=2}\\{n=-1}\end{array}\right.$，
∴m+n+p=2-1+2=3；
綜上所述，m+n+p的值為2或3．

點評 本題考查了配方法的應用、絕對值、平方和算術平方根的非負性，有難度，根據(jù)算術平方根的非負性分情況討論是關鍵；此類題的一般思路為：把原式左邊化成幾個完全平方式和的形式，根據(jù)非負數(shù)和為零，各數(shù)均為零的性質(zhì)求解．