Question

13．如圖，直線y=-$\frac{4}{3}$x+4交x軸于點A，交y軸于點C，拋物線y=ax²-$\frac{4}{3}$x+c過點A，交y軸于點B（0，-2）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點M為拋物線在第四象限部分上的一個動點，求四邊形BMAC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線與坐標(biāo)軸的交點得出點A、C坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法求得拋物線解析式；
（2）設(shè)點M（x，$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x-2），過點M作x軸的垂線，交直線y=-$\frac{4}{3}$x+4于點N，先求出四邊形BMNC的面積S₁=$\frac{1}{2}$（BC+MN）•x=6x-$\frac{1}{3}$x³，△ANM的面積S₂=$\frac{1}{2}$MN•（3-x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x+9，根據(jù)四邊形BMAC的面積S=S₁+S₂=6x-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{3}$x³-x²-3x+9=-x²+3x+9=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{45}{4}$即可得答案．

解答 解：（1）∵直線y=-$\frac{4}{3}$x+4交x軸于點A，交y軸于點C，
∴點A坐標(biāo)為（3，0）、點C坐標(biāo)為（0，4），
∵拋物線y=ax²-$\frac{4}{3}$x+c過點A，交y軸于點B（0，-2）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a-4+c=0}\\{c=-2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{3}}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x-2；

（2）設(shè)點M（x，$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x-2），
如圖，過點M作x軸的垂線，交直線y=-$\frac{4}{3}$x+4于點N，

∴點N的坐標(biāo)為（x，-$\frac{4}{3}$x+4），
∵M(jìn)N∥BC，
∴MN和BC間的距離為x，MN=（-$\frac{4}{3}$x+4）-（$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x-2）=6-$\frac{2}{3}$x²，點A到MN的距離d=3-x，
則四邊形BMNC的面積S₁=$\frac{1}{2}$（BC+MN）•x=6x-$\frac{1}{3}$x³，
△ANM的面積S₂=$\frac{1}{2}$MN•（3-x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x+9，
∴四邊形BMAC的面積S=S₁+S₂=6x-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{3}$x³-x²-3x+9=-x²+3x+9=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{45}{4}$，
∵0＜x＜3，
∴當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時，四邊形BMAC面積的最大值為$\frac{45}{4}$．

點評 本題主要考查拋物線與x軸的交點、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的最值問題，根據(jù)題意設(shè)出點M的坐標(biāo)，割補(bǔ)法表示出四邊形BMAC面積的解析式是解題的關(guān)鍵．