Question

1．如圖，在半圓O中，AB為直徑，點P是圓上一點，連結(jié)AP，過O作OQ∥AP與半圓交于點Q，設(shè)△OQB的面積為S₁，△APQ的面積為S₂，若$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{5}{6}$，則tan∠PQA的值為（　　）

• A． $\frac{5}{6}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{3}{5}$

Answer 1

分析 根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠1=∠3，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠2=∠3，等量代換得到∠1=∠2，得到PQ=BQ，過P作PH⊥AQ于H，根據(jù)已知條件設(shè)S₁=5k，S₂=6k，得到S_△AQB=10k，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．

解答 解：∵OQ∥AP，
∴∠1=∠3，
OA=OQ，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∴$\widehat{PQ}$=$\widehat{BQ}$，
∴PQ=BQ，
過P作PH⊥AQ于H，
∵AB為直徑，
∴∠AQB=90°，
∵$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{5}{6}$，
∴設(shè)S₁=5k，S₂=6k，
∵OA=OB，
∴S_△AQB=10k，
∴$\frac{1}{2}$AQ•PH=6k，①
$\frac{1}{2}$AQ•BQ=10k，②，
∴①÷②得：$\frac{PH}{BQ}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{PH}{PQ}$=$\frac{3}{5}$，
設(shè)PH=3m，PQ=5m，
∴HQ=$\sqrt{P{Q}^{2}-P{H}^{2}}$=4m，
∴tan∠PQA=$\frac{PH}{HQ}$=$\frac{3}{4}$，
故選C．

點評 本題考查了平行線的性質(zhì)，解直角三角形，圓周角定理，三角形的面積的計算，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．