Question

10．如圖1，等邊△ABC邊長10 cm，D是AC上一點，DC=4 cm，點M以2 cm/秒的速度在線段BC上由C向B運動，點N在線段BA上由B向A運動，M、N同時出發．
（1）若點N與點M速度相等．
①當運動時間t為何值時，MN∥AC？
②當運動時間t為何值時，△BMN是直角三角形？
（2）若點N與點M運動速度不相等，M以點C為起點，順時針沿△ABC的邊經過B運動至A，N以點B為起點，順時針沿△ABC的邊經過A運動至C，問點N的速度為多少時，△BMN和△CDM的構成全等？

Answer 1

分析 （1）①由條件可得BN=BM，再用t表示出線段的長度，代入可求得t的值；
②設運動時間為t秒，分別表示CM和BN．分兩種情況，運用特殊三角形的性質求解：I．∠NMB=90°；Ⅱ．∠BNM=90°；
（2）①如圖1中，當點M在BC上，點N在AB上時，如果BM=CM，BN=CD，因為∠B=∠C=60°，則△DCM≌△NBM，求出點M的運動時間即可解決問題．
②如圖2中，當點M在線段AB上，點N在線段AC上時，如果點N與點D重合，BM=CD時，則△DCM≌△MBN，求出點M的運動時間即可解決問題．

解答 解：（1）①∵MN∥AC且△ABC為等邊三角形，
∴BN=BM，
∵BN=2t，BM=10-2t，
∴2t=10-2t，
解得t=2.5，
故運動時間t為2.5時，MN∥AC；

②設運動時間為t秒，△BMN是直角三角形有兩種情況：
Ⅰ．當∠NMB=90°時，
∵∠B=60°，
∴∠BNM=90°-∠B=90°-60°=30°．
∴BN=2BM，
∴2t=2×（10-2t）
∴t=$\frac{10}{3}$（秒）；
Ⅱ．當∠BNM=90°時，
∵∠B=60°，
∴∠BMN=90°-∠B=90°-60°=30°．
∴BM=2BN，
∴10-2t=2×2t
∴t=$\frac{5}{3}$（秒）；
∴當t=$\frac{10}{3}$秒或t=$\frac{5}{3}$秒時，△BMN是直角三角形；

（2）①如圖1中，當點M在BC上，點N在AB上時，如果BM=CM，BN=CD，因為∠B=∠C=60°，
∴△DCM≌△NBM，
∴BM=CM=5，BN=CD=4，
∴點M的運動時間t=$\frac{5}{2}$，
∴點N的運動速度=$\frac{4}{\frac{5}{2}}$=$\frac{8}{5}$cm/秒．
②如圖2中，當點M在線段AB上，點N在線段AC上時，如果點N與點D重合，BM=CD時，
∴△DCM≌△MBN，
∴BM=CD=4，AN=6，
∴點M的運動時間t=$\frac{14}{2}$=7秒，
∴點N的運動速度=$\frac{16}{7}$cm/秒．
綜上所述，點N的速度為$\frac{8}{5}$cm/秒或$\frac{16}{7}$cm/秒時，△BMN和△CDM的構成全等

點評 本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質、直角三角形的性質、路程、速度、時間的關系等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．