Question

2．平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y=ax²經(jīng)平移后與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，若$\frac{{{S_{△AOC}}}}{{{S_{△BOC}}}}=\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，則稱平移后的拋物線所在的位置為拋物線y=ax²在該平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)“黃金位”．如圖所示的拋物線為拋物線y=ax²的一個(gè)“黃金位”，且AB=2，將圖中的拋物線向右平移$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$個(gè)單位長(zhǎng)度又可得到拋物線y=ax²的另一個(gè)“黃金位”．

Answer 1

分析 設(shè)OB=x，利用面積公式得到OA：OB=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，則OA=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$x，再利用AB=2列方程$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$x+x=2，解得x=$\sqrt{5}$-1，所以O(shè)A=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，若將圖中的拋物線向右平移，則點(diǎn)A在y軸右側(cè)，此時(shí)OB-OA=2，所以x-$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$x=2，解得x=3+$\sqrt{5}$，此時(shí)OA的長(zhǎng)為$\sqrt{5}$+1，然后計(jì)算$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$+$\sqrt{5}$+1即可．

解答 解：設(shè)OB=x，
∵$\frac{{{S_{△AOC}}}}{{{S_{△BOC}}}}=\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，
∴OA：OB=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴OA=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$x，
∵AB=2，
∴$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$x+x=2，解得x=$\sqrt{5}$-1，
∴OA=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，
將圖中的拋物線向右平移，則點(diǎn)A在y軸右側(cè)，此時(shí)OB-OA=2，
即x-$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$x=2，解得x=3+$\sqrt{5}$，
∴此時(shí)OA的長(zhǎng)為$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（3+$\sqrt{5}$）=$\sqrt{5}$+1，
∴將圖中的拋物線向右平移$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$+$\sqrt{5}$+1=$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$個(gè)單位長(zhǎng)度又可得到拋物線y=ax²的另一個(gè)“黃金位”．
故答案為$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通�？衫�用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．