Question

15．如圖，點E是BC的中點，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列結論：①∠AED=90°；②∠ADE=∠AEB；③S_梯形ABCD=AD•CE；④AD=2AE，四個結論中成立的是（　　）

• A． ①②④
• B． ①②③
• C． ②③④
• D． ①③④

Answer 1

分析 過E作EF⊥AD于F，由AAS證明△AEF≌△AEB，得出BE=EF，AB=AF，∠AEF=∠AEB；證出EC=EF=BE，由HL證明Rt△EFD≌Rt△ECD，得出DC=DF，∠FED=∠CED，由平角定義得出∠AED=90°，①正確；
由直角三角形的兩個銳角互余得出∠ADE=∠AEB，②正確；
證出AD=AF+FD=AB+DC，得出S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$（AB+CD）BC=AD•CE，③正確；
只有∠ADE=30°時，AD=2AE，④不正確；即可得出結論．

解答 解：過E作EF⊥AD于F，如圖，
∵AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，
∴∠C=∠AFE=∠DFE=∠B=90°，∠FAE=∠BAE，
在△AEF和△AEB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠B}&{\;}\\{∠FAE=∠BAE}&{\;}\\{AE=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AEB（AAS），
∴BE=EF，AB=AF，∠AEF=∠AEB；
∵點E是BC的中點，
∴EC=EF=BE，
在Rt△EFD和Rt△ECD中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=DE}\\{EF=EC}\end{array}\right.$，
∴Rt△EFD≌Rt△ECD（HL），
∴DC=DF，∠FED=∠CED，
∵∠AEB+∠AEF+∠FED+∠CED=180°，
∴∠AED=$\frac{1}{2}$×180°=90°，①正確；
∵EF⊥AD，
∴∠AEF=∠ADE，
∴∠ADE=∠AEB，②正確；
∵AD=AF+FD=AB+DC，S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$（AB+CD）BC=AD•CE，③正確；
只有∠ADE=30°時，AD=2AE，
∴④不正確；
故選：B．

點評 本題考查了梯形的性質、三角形全等的判定與性質、直角三角形的性質；證明三角形全等是解決問題的關鍵．