Question

12．已知點(diǎn)A、B分別在x軸和y軸上，OA=OB，點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)，AB=12$\sqrt{2}$
（1）如圖1，求點(diǎn)C的坐標(biāo)
（2）如圖2，E、F分別為OA上的動點(diǎn)，且∠ECF=45°，求證：EF²=OE²+AF²
（3）如圖3，點(diǎn)D在y軸正半軸上運(yùn)動，以AD為腰向下作等腰RT△ADM，∠DAM=90°，T為線段OA的中點(diǎn)，連DT并延長至點(diǎn)N，使DT=TN，連MN，求MN的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出線段OA、OB，可得A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，由此即可求出線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）如圖2中，連接OC，∵BC=AC，∠AOB=90°，∴OC=CA，∠OCB=∠CAF=45°，將△ACF繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°可得△COM，點(diǎn)M正好在線段OB上．則OM=AF，CM=CF，∠MCO=∠FCA．只要證明△ECM≌△ECF，推出EM=EF，在Rt△MOE中，可得ME²=OM²+OE²，由此即可解決問題．
（3）如圖3中，連接AN．作MG⊥OA于G．設(shè)D（0，a），求出M、N兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出MN，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．

解答 解：（1）∵OA=OB，∠AOB=90°，AB=12$\sqrt{2}$，
∴OA=OB=12，
∴A（0，12），B（12，0），
∴線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（6，6）．

（2）如圖2中，連接OC，
∵BC=AC，∠AOB=90°，
∴OC=CA，∠OCB=∠CAF=45°，
將△ACF繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°可得△COM，點(diǎn)M正好在線段OB上．
則OM=AF，CM=CF，∠MCO=∠FCA．

∵OC⊥AB，
∴∠OCA=90°，
∵∠ECF=45°，
∴∠ECO+∠FCA=∠ECO+∠MCO=45°，
∴∠MCO=∠ECF，
在△ECM和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=EC}\\{∠ECM=∠ECF}\\{CM=CF}\end{array}\right.$，
∴△ECM≌△ECF，
∴EM=EF，
在Rt△MOE中，∵M(jìn)E²=OM²+OE²，
又∵OM=AF，EF=EM，
∴EF²=OE²+AF²．

（3）如圖3中，連接AN．作MG⊥OA于G．設(shè)D（0，a）

∵∠DAO+∠MAG=90°，∠MAG+∠GMA=90°，
∴∠DAO=∠AMG，
∵AD=AM，∠AOD=∠AGM=90°，
∴△DAO≌△AMG，
∴OD=AG=a，OA=MG=12，
∴M（12-a，-12），
∵OT=TA，DT=TN，∠DTO=∠ATM，
∴△DTO≌△NTA，
∴∠DOT=∠NAT=90°，AN=OD=a，
∴N（12，-a），
∴MN=$\sqrt{{a}^{2}+（12-a）^{2}}$=$\sqrt{2（a-6）^{2}+72}$，
∴a=2時，MN有最小值6$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、兩點(diǎn)間距離公式、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，屬于中考壓軸題．