Question

16．已知一次函數y₁=x+a和y₂=x+b（a，b為常數）分別經過點A（1，m）和點B（2，6-m）．
（1）設u=y₁•y₂，當u隨著x的增大而增大時，自變量x的取值范圍是$x≥-\frac{3}{2}$；
（2）設v=y₁+y₂，當u和v的圖象交點橫坐標為3時，m=$\frac{{5+3\sqrt{5}}}{2}$或$\frac{{5-3\sqrt{5}}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）先根據一次函數y₁=x+a和y₂=x+b分別經過點A（1，m）和點B（2，6-m），得到a=m-1，b=4-m，再根據u=y₁•y₂得到，u=x²+3x+（m-1）（4-m），最后根據二次函數的對稱軸為x=-$\frac{3}{2}$，拋物線開口向上，可得當$x≥-\frac{3}{2}$時，u隨著x的增大而增大；
（2）根據v=y₁+y₂=x+m-1+x+4-m=2x+3，u=x²+3x+（m-1）（4-m），可得2x+3=x²+3x+（m-1）（4-m），再把x=3代入，可得：2×3+3=9+9+（m-1）（4-m），據此求得m的值．

解答 解：（1）∵一次函數y₁=x+a和y₂=x+b分別經過點A（1，m）和點B（2，6-m），
∴m=1+a，6-m=2+b，
∴a=m-1，b=4-m，
∴u=y₁•y₂=（x+a）（x+b）=（x+m-1）（x+4-m）=x²+3x+（m-1）（4-m），
∵二次函數的對稱軸為x=-$\frac{3}{2}$，拋物線開口向上，
∴當$x≥-\frac{3}{2}$時，u隨著x的增大而增大，
故答案為：$x≥-\frac{3}{2}$；

（2）由題可得，v=y₁+y₂=x+m-1+x+4-m=2x+3，
u=x²+3x+（m-1）（4-m），
當2x+3=x²+3x+（m-1）（4-m）時，把x=3代入可得：
2×3+3=9+9+（m-1）（4-m），
解得m=$\frac{{5+3\sqrt{5}}}{2}$或$\frac{{5-3\sqrt{5}}}{2}$．
故答案為：$\frac{{5+3\sqrt{5}}}{2}$或$\frac{{5-3\sqrt{5}}}{2}$．

點評 本題主要考查了一次函數圖象上的點的坐標特征以及二次函數的性質的運用，解題時注意：當a＞0時，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜-$\frac{b}{2a}$時，y隨x的增大而減小；x＞-$\frac{b}{2a}$時，y隨x的增大而增大．