Question

8．如圖，三角形有一邊上的中線長恰好等于這邊的長，那么這個三角形可稱為“等中三角形”，
探索體驗
（1）如圖①，點D是線段AB的中點，請畫一個△ABC，使其為“等中三角形”．
（2）如圖②，在 Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=$\sqrt{3}$，判斷△ABC是否為“等中三角形”，并說明理由．
拓展應用
（3）如圖③，正方形ABCD木板的邊長AB=6，請探索在正方形木板上是否存在點P，使△ABP為面積最大的“等中三角形”？若存在，求出CP的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過同圓的半徑相等，取DC=AB，則△ABC就是所求作的等中三角形；
（2）作中線BD，根據勾股定理求中線BD=AC，則△ABC是“等中三角形”；
（3）分別以△ABP三邊畫等中三角形，對比后得圖5中的等中三角形的面積最大，求出此時的CP的長即可．

解答 解：（1）如圖1，
作法：①以D為圓心，以AB為半徑畫圓，在圓上任意取一點C，
②連接AC、BC，
則△ABC就是所求作的“等中三角形”；
（2）△ABC是“等中三角形”，理由是：
如圖2，取AC的中點D，連接BD，
∵AC=2，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=1，
∵∠ACB=90°，
由勾股定理得：BD=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2，
∴BD=AC，
∴△ABC是“等中三角形”，
（3）分三種情況：
①當中線長BE=AP時，如圖3，
畫法：①在正方形內任意取一點P，連接AP，取中點E，
②以E為圓心，以AP為半徑畫圓，當圓E經過點B時，△ABP是等中三角形；

②當中線長AE=PB時，同理可畫出圖4；
③當中線長PE=AB時，如圖5，
畫法：取AB中點E，以E為圓心，以AB為半徑畫圓，交CD于P，此時，△ABP是等中三角形；
由三個圖形可得：圖5中的等中三角形的面積最大，
此時，P是DC的中點，
∴PC=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}×6$=3．

點評 本題是四邊形的綜合題，考查了正方形的性質、直角三角形斜邊中線的性質，等腰三角形的性質以及三角形全等的性質和判定，又是一道新定義的閱讀理解問題及尺規作圖題，綜合性較強；熟練掌握性質和定理是關鍵，并注意理解和運用已知的“中線長恰好等于這邊的長”這一條件．