Question

2．如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，點D，E分別是BC，AB邊的中點，過A點作AF∥BC交DE的延長線于F點，連接AD，BF．
（1）求證：四邊形ADBF是矩形；
（2）在（1）的條件下，若AB=$\sqrt{7}$，且BD，AD的長是關于x的一元二次方程x²+（2m-1）x+m²=0的兩個實數根，求m的值．

Answer 1

分析 （1）有等腰三角形的性質得出AD⊥BC，由平行線的性質得出∠FAE=∠DBE，由ASA證明△AEF≌△BED，得出AF=BD，即可得出結論；
（2）由勾股定理得出BD²+AD²=AB²=7，由根與系數的關系得出BD+AD=-（2m-1）=1-2m，BD+AD=m²，得出BD²+AD²=（BD+AD）²-2BD•AD=2m²-4m+1，得出方程，解方程即可．

解答 （1）證明：∵AB=AC，點D，E分別是BC，AB邊的中點，
∴AD⊥BC，AE=BE，
∵AF∥BC，
∴∠FAE=∠DBE，
在△AEF和△BED中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FAE=∠DBE}&{\;}\\{AE=BE}&{\;}\\{∠AEF=∠BED}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△BED（ASA），
∴AF=BD，
又∵AF∥BD，
∴四邊形ADBF是平行四邊形，
∵∠ADB=90°，
∴四邊形ADBF是矩形；
（2）解：∵AD⊥BC，
∴BD²+AD²=AB²=7，
∵BD，AD的長是關于x的一元二次方程x²+（2m-1）x+m²=0的兩個實數根，
∴BD+AD=-（2m-1）=1-2m，BD+AD=m²，
∴BD²+AD²=（BD+AD）²-2BD•AD=（1-2m）²-2m²=2m²-4m+1，
∴2m²-4m+1=7，
解得：m=3，或m=-1，
又∵△=（2m-1）²-4m²≥0，
∴m≤$\frac{1}{4}$，
故m=-1．

點評 本題考查了矩形的判定、等腰三角形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理、根與系數的關系以及根的判別式；熟練掌握等腰三角形的性質和矩形的判定，由勾股定理和根與系數關系得出方程是解決問題（2）的關鍵．