Question

12．如圖，∠B、∠C的平分線相交于F，過點F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列結論：①△BDF、△CEF都是等腰三角形； ②DE=BD+CE；③△ADE的周長為AB+AC；④BD=CE．其中正確的是（　�。�

• A． ③④
• B． ①②
• C． ①②③
• D． ②③④

Answer 1

分析 由△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點F，DE∥BC，易證得△BDF和△CEF都是等腰三角形，繼而可得DE=BD+CE，又由△ADE的周長為：AD+DE+AE=AB+BD+CE+AE=AB+AC；即可得△ADE的周長等于AB與AC的和．

解答 解：∵DE∥BC，
∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB，
∵△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點F，
∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠FCB，
∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，
∴DB=DF，EF=EC，
即△BDF和△CEF都是等腰三角形；
故①正確；
∴DE=DF+EF=BD+CE，
故②正確；
∴△ADE的周長為：AD+DE+AE=AB+BD+CE+AE=AB+AC；
故③正確；
∵∠ABC不一定等于∠ACB，
∴∠FBC不一定等于∠FCB，
∴BF與CF不一定相等，
∴BD與CE不一定相等，故④錯誤．
故選C．

點評 此題考查了等腰三角形的性質與判定以及角平分線的定義．此題難度適中，注意掌握數形結合思想與轉化思想的應用．