Question

1．如圖，在△ABC中，∠ABC=2∠C，∠BAC的平分線AD交BC于D，過(guò)B作BE⊥AD交AD于F，交AC于E．
（1）求證：△ABE為等腰三角形；
（2）已知AC=11，AB=6，求BD長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由垂直的定義得到∠AFE=∠AFB=90°，由角平分線的定義得到∠EAF=∠BAF，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠AEF=∠ABF，得到AE=AB，于是得到結(jié)論；
（2）連接DE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AD垂直平分BE，得到BD=ED，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠DEF=∠DBF，等量代換得到∠AED=∠ABD，于是得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵BE⊥AD，
∴∠AFE=∠AFB=90°，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠EAF=∠BAF，
又∵在△AEF和△ABF中
∠AFE+∠EAF+∠AEF=180°，∠AFB+∠BAF+∠ABF=180°
∴∠AEF=∠ABF，
∴AE=AB，
∴△ABE為等腰三角形；

（2）解：連接DE，
∵AE=AB，AD平分∠BAC，
∴AD垂直平分BE，
∴BD=ED，
∴∠DEF=∠DBF，
∵∠AEF=∠ABF，
∴∠AED=∠ABD，
又∵∠ABC=2∠C，
∴∠AED=2∠C，
又∵△CED中，∠AED=∠C+∠EDC，
∴∠C=∠EDC，
∴EC=ED，
∴CE=BD．
∴BD=CE=AC-AE=AC-AB=11-6=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．