Question

13．將兩個(gè)全等的直角三角形ABC和DEC按圖1放置，點(diǎn)E在AB上，∠ACB=∠DCE=90°，∠BAC=∠EDC=30°．
（1）求證：AE=BE；
（2）如圖2，△ABC不動(dòng)，將△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，猜想△AEC和△DBC面積的大小關(guān)系，并證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）先判定△CBE為等邊三角形得到∠BCE=60°，則∠ACE=30°，所以∠ACE=∠A，然后根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）作AN⊥CE于N，DM⊥BC于M，如圖，證明△ANC≌△DMC得到AN=DM，然后根據(jù)三角形面積公式可判斷S_△AEC=S_△DBC．

解答 （1）證明：∵∠ACB=90°，∠BAC=30°．
∴∠B=60°，
∵△ABC和△DCE全等，
∴CE=CB，
∴△CBE為等邊三角形，
∴∠BCE=60°，
∴∠ACE=30°，
∴∠ACE=∠A，
∴AE=BE；
（2）解：△AEC和△DBC面積相等．理由如下：
作AN⊥CE于N，DM⊥BC于M，如圖，
∴CA=CD，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
即∠1+∠MCN=90°，∠2+∠MCN=90°，
∴∠1=∠2，
在△ANC和△DMC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ANC=∠DMC}\\{∠1=∠2}\\{AC=DC}\end{array}\right.$，
∴△ANC≌△DMC（AAS），
∴AN=DM，
而S_△AEC=$\frac{1}{2}$•CE•AN，S_△DBC=$\frac{1}{2}$•BC•DM，
S_△AEC=S_△DBC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和三角形面積公式．