Question

7．如圖，等腰三角形ABC的底邊長(zhǎng)為8cm，腰長(zhǎng)為5cm，一動(dòng)點(diǎn)P在底邊上從點(diǎn)B向點(diǎn)C以1cm/s的速度移動(dòng)，
（1）求△ABC的面積；
（2）請(qǐng)你探究：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，點(diǎn)P與頂點(diǎn)A的連線PA與腰垂直？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)可得到BD的長(zhǎng)，由勾股定理可求得AD的長(zhǎng)，根據(jù)三角形面積公式即可求解；
（2）分兩種情況進(jìn)行分析：①PA⊥AC②PA⊥AB，從而可得到運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

解答 解：（1）作AD⊥BC
∵AB=AC=5，BC=8，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=4，
∴AD=$\sqrt{A{B^2}-B{D^2}}=\sqrt{{5^2}-{4^2}_{\;}}=3$，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}BC•AD=12（c{m^2}）$；

（2）分兩種情況：

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t秒后有PA⊥AC時(shí)，
∵AP²=PD²+AD²=PC²-AC²，
∴PD²+AD²=PC²-AC²，
∴PD²+3²=（PD+4²-5²，
∴PD=2.25，
∴BP=4-2.25=1.75=1t，
∴t=1.75，
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t秒后有PA⊥AB時(shí)，同理可證得PD=2.25，
∴BP=4+2.25=6.25，
∴t=6.25．
綜上所述，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)1.75s或6.25s秒時(shí)，P點(diǎn)與頂點(diǎn)A的連線PA與腰垂直．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理的運(yùn)用，此題難度適中，解題的關(guān)鍵是分類(lèi)討論思想、方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．