Question

4．閱讀理解：如圖（1），在四邊形ABCD的邊AB上任取一點E（點E不與A、B重合），分別連接ED、EC，可以把四邊形ABCD分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，我們就把點E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“相似點”；如果這三個三角形都相似，我們就把點E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“強相似點”．
（1）問題發(fā)現(xiàn)
如圖（1），若∠A=∠B=∠DEC=α（0°＜α＜180°），試判斷點E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點，并說明理由．
（2）拓展探究
如圖（1），在（1）的前提下，試探究當(dāng)點E在邊AB的什么位置時，點E是四邊形ABCD的邊AB上的強相似點，并說明理由；
（3）解決問題
如圖（2），將矩形ABCD沿CM折疊，使點D落在AB上的點E處，若點E恰好是四邊形ABCF的邊AB上的一個強相似點，請直接寫出AB與BC的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）要證明點E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點，只要證明有一組三角形相似就行，很容易證明△ADE∽△BEC，所以問題得解．
（2）當(dāng)點E是AB中點時，點E是四邊形ABCD的邊AB上的強相似點．只要證明△DEC∽△EBC即可．
（3）由點E是矩形ABCD的AB邊上的一個強相似點，得△AEM∽△BCE∽△ECM，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等，可求得∠BCE=$\frac{1}{3}$∠BCD=30°，利用含30°角的直角三角形性質(zhì)可得BE與AB，BC邊之間的數(shù)量關(guān)系，從而可求出AB與BC邊之間的數(shù)量關(guān)系．

解答 解：（1）如圖1中，結(jié)論：點E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點．理由如下：

∵∠DEB=∠A+∠ADE=∠DEC+∠CEB，
又∵∠A=∠B=∠DEC，
∴∠ADE=∠CEB，∵∠A=∠B，
∴△DAE∽△EBC．
∴E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點．

（2）當(dāng)點E是AB中點時，點E是四邊形ABCD的邊AB上的強相似點．
理由：∵△DAE∽△EBC，
∴$\frac{DE}{EC}$=$\frac{AE}{BC}$，
∴$\frac{DE}{AE}$=$\frac{EC}{BC}$，
∵AE=EB，
∴$\frac{DE}{EB}$=$\frac{EC}{BC}$，∵∠DEC=∠B，
∴△DEC∽△EBC，
∴點E是四邊形ABCD的邊AB上的強相似點．

（3）如圖2中，結(jié)論：$\frac{BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．理由如下：

∵點E是四邊形ABCM的邊AB上的一個強相似點，
∴△AEM∽△BCE∽△ECM，
∴∠BCE=∠ECM=∠AEM．
由折疊可知：△ECM≌△DCM，
∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，
∴∠BCE=$\frac{1}{3}$∠BCD=30°，
BE=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{1}{2}$AB，
在Rt△BCE中，cos∠BCE=$\frac{BC}{EC}$=$\frac{BC}{CD}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)/等知識，解題的關(guān)鍵是理解相似點和強相似點的概念，靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考壓軸題．