Question

11．在⊙O中，AB為直徑，C為⊙O上一點．

（1）如圖1，過點C作⊙O的切線，與AB延長線相交于點P，若∠CAB=27°，求∠P的度數(shù)；
（2）如圖2，D為弧AB上一點，OD⊥AC，垂足為E，連接DE并延長，與AB的延長線交于點P，若∠CAB=10°，求∠P的大小．

Answer 1

分析 （1）連接OC，首先根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OCP=90°，利用∠CAB=27°得到∠COB=2∠CAB=54°，然后利用直角三角形兩銳角互余即可求得答案；
（2）根據(jù)OD⊥AC，從而求得∠AOE=90°-∠EAO=80°，然后利用圓周角定理求得∠ACD=$\frac{1}{2}$∠AOD=40°，最后利用三角形的外角的性質(zhì)求解即可．

解答 解：（1）如圖①，連接OC，
∵⊙O與PC相切于點C，
∴OC⊥PC，即∠OCP=90°，
∵∠CAB=27°，
∴∠COB=2∠CAB=54°，
在Rt△AOE中，∠P+∠COP=90°，
∴∠P=90°-∠COP=36°；

（2）∵OD⊥AC，即∠AEO=90°，
在Rt△AOE中，由∠EAO=10°，
得∠AOE=90°-∠EAO=80°，
∴∠ACD=$\frac{1}{2}$∠AOD=40°，
∵∠ACD是△ACP的一個外角，
∴∠P=∠ACD-∠A=40°-10°=30°．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能夠利用圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑得到直角三角形．