Question

7．已知拋物線y=ax²-4ax+b與x軸的一個交點A的坐標為（3，0），與y軸交于點C．
（1）求拋物線與x軸的另一個交點B的坐標；
（2）當a=-1時，將拋物線向上平移m個單位后經過點（5，-7）．
①求m的值及平移前、后拋物線的頂點P、Q的坐標．
②設平移后拋物線與y軸交于點D，問：在平移后的拋物線上是否存在點E，使得△ECD的面積是△EPQ的3倍？若存在，請求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將A（0，3）代入y=ax²-4ax+b中，得b=3a，可得y=ax²-4ax+3a．令y=0時，得ax²-4ax+3a=0解方程即可解決問題．
（2）①當a=-1時，y=-x²+4x-3=-（x-2）²+1，平移前拋物線的頂點坐標為（2，1），因為平移后拋物線的解析式為y=-（x-2）²+1+m，且經過點（5，-7），利用待定系數法求出m的值即可解決問題．
②存在．分三種情形討論即可．a、當點E位于對稱軸右側時，如圖，則有3（x₀-2）=x₀．b、當點E位于對稱軸與y軸之間時，則有3（2-x₀）=x₀．c、當點E位于y軸左側時，則有3（2-x₀）=-x₀．分別解方程即可解決問題．

解答 解：（1）將A（0，3）代入y=ax²-4ax+b中，得b=3a，
∴y=ax²-4ax+3a．
當y=0時，ax²-4ax+3a=0．
解得x=1或x=3，
∴拋物線與x軸的另一個交點B的坐標為（1，0）．

（2）①當a=-1時，y=-x²+4x-3=-（x-2）²+1，
∴平移前拋物線的頂點坐標為（2，1），
∵平移后拋物線的解析式為y=-（x-2）²+1+m，且經過點（5，-7），
∴m=1，
∴y=-（x-2）²+2，
∴平移后拋物線的頂點Q的坐標為（2，2），

②存在．理由如下，如圖，

由平移可知PQ=CD，
∴要使S_△EPQ=3S_△EPQ只需要CD上的高是PQ上的高的3倍．
設點E（x₀，y₀），由①知平移前、后拋物線的對稱軸均為直線x=2．
a、當點E位于對稱軸右側時，如圖，則有3（x₀-2）=x₀．
∴x₀=3，y₀=1，
∴點E的坐標為（3，1）…（8分）
b、當點E位于對稱軸與y軸之間時，則有3（2-x₀）=x₀．
∴x₀=$\frac{3}{2}$，y₀=$\frac{7}{4}$
∴點E的坐標為（$\frac{3}{2}$，$\frac{7}{4}$）．
c、當點E位于y軸左側時，則有3（2-x₀）=-x₀．
∴x₀=3＞0，與點E位于y軸左側矛盾，故此情況不存在
綜上所述，點E的坐標為（3，1）或（$\frac{3}{2}$，$\frac{7}{4}$）．

點評 本題考查二次函數綜合題、平移變換、三角形的面積等知識，解題的關鍵是靈活運用待定系數法確定函數解析式，學會利用參數解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，學會把問題轉化為方程解決，屬于中考壓軸題．