Question

20．如圖，拋物線y=ax²+bx+1與直線y=-ax+c相交于坐標(biāo)軸上點(diǎn)A（-3，0），C（0，1）兩點(diǎn)．
（1）直線的表達(dá)式為y=$\frac{1}{3}$x+1；拋物線的表達(dá)式為y=-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+1．
（2）D為拋物線在第二象限部分上的一點(diǎn)，作DE垂直x軸于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)F，求線段DF長(zhǎng)度的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且P在第四象限內(nèi)，過點(diǎn)P作PN垂直x軸于點(diǎn)N，使得以P、A、N為頂點(diǎn)的三角形與△ACO相似，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把A、C坐標(biāo)代入拋物線和直線解析式，可求得答案；
（2）可設(shè)出D點(diǎn)坐標(biāo)，則可表示出F點(diǎn)坐標(biāo)，從而可表示出DF的長(zhǎng)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得DF的最大值及D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）可設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，則可表示出PN和ON的長(zhǎng)，分△AOC∽△PNA和△AOC∽△ANP兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：
（1）把A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入直線y=-ax+c可得$\left\{\begin{array}{l}{3a+c=0}\\{c=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{c=1}\end{array}\right.$，
∴直線的表達(dá)式為y=$\frac{1}{3}$x+1，
把A點(diǎn)坐標(biāo)和a=-$\frac{1}{3}$代入拋物線解析式可得9×（-$\frac{1}{3}$）-3b+1=0，解得b=-$\frac{2}{3}$，
∴拋物線的表達(dá)式為y=-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+1，
故答案為：y=$\frac{1}{3}$x+1；y=-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+1；
（2）∵點(diǎn)D在拋物線在第二象限部分上的一點(diǎn)，
∴可設(shè)D（t，-$\frac{1}{3}$t²-$\frac{2}{3}$t+1），則F（t，$\frac{1}{3}$t+1），
∴DF=-$\frac{1}{3}$t²-$\frac{2}{3}$t+1-（$\frac{1}{3}$t+1）=-$\frac{1}{3}$t²-t=-$\frac{1}{3}$（t+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，

∵-$\frac{1}{3}$＜0，
∴當(dāng)t=-$\frac{3}{2}$時(shí)，DF有最大值，最大值為$\frac{3}{4}$，此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{4}$）；
（3）設(shè)P（m，-$\frac{1}{3}$m²-$\frac{2}{3}$m+1），如圖2，

∵P在第四象限，
∴m＞0，-$\frac{1}{3}$m²-$\frac{2}{3}$m+1＜0，
∴AN=m+3，PN=$\frac{1}{3}$m²+$\frac{2}{3}$m-1，
∵∠AOC=∠ANP=90°，
∴當(dāng)以P、A、N為頂點(diǎn)的三角形與△ACO相似時(shí)有△AOC∽△PNA和△AOC∽△ANP，
①當(dāng)△AOC∽△PNA時(shí)，則有$\frac{OC}{AN}$=$\frac{AO}{PN}$，即$\frac{1}{m+3}$=$\frac{3}{\frac{1}{3}{m}^{2}+\frac{2}{3}m-1}$，
解得m=-3或m=10，經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)m=-3時(shí)，m+3=0，
∴m=10，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（10，-39）；
②當(dāng)△AOC∽△ANP時(shí)，則有$\frac{OC}{PN}$=$\frac{AO}{AN}$，即$\frac{1}{\frac{1}{3}{m}^{2}+\frac{2}{3}m-1}$=$\frac{3}{m+3}$，
解得m=2或m=-3，經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)m=-3時(shí)，m+3=0，
∴m=2，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-$\frac{5}{3}$）；
綜上可知P點(diǎn)坐標(biāo)為（10，-39）或（2，-$\frac{5}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、二次函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識(shí)．在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在（2）中用D點(diǎn)坐標(biāo)表示出DF的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵，在（3）中用P點(diǎn)坐標(biāo)表示出PN和AN的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．