Question

8．一列數a₁，a₂，a₃，…滿足條件：a₁=$\frac{1}{2}$，a_n=$\frac{1}{1-{a}_{n-1}}$（n≥2，且n為整數），則a₂₀₁₇=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 求出數列的前4項，繼而得出數列的循環周期，然后根據所得的規律進行求解即可．

解答 解：∵a₁=$\frac{1}{2}$，a_n=$\frac{1}{1-{a}_{n-1}}$，
∴a2=$\frac{1}{1-{a}_{1}}$=$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}$=2，
a3=$\frac{1}{1-{a}_{2}}$=$\frac{1}{1-2}$=-1，
a4=$\frac{1}{1-{a}_{3}}$=$\frac{1}{1-（-1）}$=$\frac{1}{2}$，
…
這列數每3個數為一循環周期，
∵2017÷3=672…1，
∴a₂₀₁₇=a₁=$\frac{1}{2}$，
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 此題主要考查了數字變化規律問題，認真觀察、仔細思考，善用聯想是解決這類問題的方法，解題時注意運用a_n=$\frac{1}{1-{a}_{n-1}}$進行計算．