Question

17．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=5cm，BC=9cm．M是CD的中點，P是BC邊上的一動點（P與B，C不重合），連接PM并延長交AD的延長線于Q．
（1）試說明△PCM≌△QDM．
（2）當點P在點B、C之間運動到什么位置時，四邊形ABPQ是平行四邊形？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）要證明△PCM≌△QDM，可以根據兩個三角形全等四個定理，即AAS、ASA、SAS、SSS中的ASA．利用∠QDM=∠PCM，DM=CM，∠DMQ=∠CMP即可得出；
（2）得出P在B、C之間運動的位置，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出．

解答 （1）證明：∵AD∥BC
∴∠QDM=∠PCM
∵M是CD的中點，
∴DM=CM，
∵∠DMQ=∠CMP，
在△PCM和△QDM中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠QDM=∠PCM}\\{DM=CM}\\{∠DMQ=∠CMP}\end{array}\right.$，
∴△PCM≌△QDM（ASA）．

（2）解：當四邊形ABPQ是平行四邊形時，PB=AQ，
∵BC-CP=AD+QD，
∴9-CP=5+CP，
∴CP=（9-5）÷2=2．
∴當PC=2時，四邊形ABPQ是平行四邊形．

點評 本題考查了全等三角形、平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的性質和判定方法是解題的關鍵．