Question

7．如圖（1），四邊形ABCD是平行四邊形，BD是它的一條對角線，過頂點A、C分別作AM⊥BD，CN⊥BD，M，N為垂足．
（1）求證：AM=CN；
（2）如圖（2），在對角線DB的延長線及反向延長線上分別取點E，F，使BE=DF，連接AE、CF，試探究：當EF滿足什么條件時，四邊形AECF是矩形？并加以證明．

Answer 1

分析 （1）利用平行四邊形的性質證得△AMD≌△CNB，從而根據全等三角形對應邊相等證得結論即可；
（2）利用對角線相等的平行四邊形是矩形證得結論即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AD∥BC，∠ADM=∠CBN．
∵AM⊥BD，CN⊥BD，
∴∠AMD=∠CNB=90°，
在△AMD和△CNB中$\left\{\begin{array}{l}{∠ADM=∠CEN}\\{∠AMD=∠CNB}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴△AMD≌△CNB．     
∴AM=CN．             

（2）猜想：當EF=AC時，四邊形AECF是矩形．
證明：由（1）得△AMD≌△CNB，
∴DM=BN．
∵BE=DF，
∴DM+DF=BN+BE，即MF=NE．                 
在△AMF和△CNE中$\left\{\begin{array}{l}{MF=NE}\\{∠AMF=∠CNE}\\{AM=CN}\end{array}\right.$  
∴△AMF≌△CNE．
∴AF=CE，∠AFE=∠CEF．   
∴AF∥CE且AF=CE．
即四邊形AECF是平行四邊形．
又EF=AC，
∴四邊形AMCN是矩形．

點評 本題考查了平行四邊形對邊平行且相等的性質，平行線的性質，全等三角形的判定與性質，是基礎題，一般情況下，證明邊相等，就利用邊所在的三角形全等證明．