Question

10．如圖，在平面直角坐標系中，點O是坐標原點，四邊形ABCO是菱形，點A的坐標為（-3，4），點C在x軸的正半軸上，直線AC交y軸于點M，AB邊交y軸于點H，點P是線段AB上的一動點（包括點A，B），且點P的坐標為（a，4）．
（1）求直線AC的函數解析式；
（2）連接BM，PM，設△PMB的面積為S（S≠0），求S與a之間的函數關系式（要求寫出自變量a的取值范圍）；
（3）是否存在點P，使△BPM是以BM為腰的等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由A點坐標可求得AO的長，由菱形的性質則可求得OC的長，可求得C點坐標，利用待定系數法可求得直線AC的解析式；
（2）由菱形的性質可求得AB的長，則可求得B點坐標，可用a表示出BP的長，又由直線AC解析式可求得M點坐標，可求得MH的長，則可用a表示出S，由點P在線段AB上可寫出a的取值范圍；
（3）由P點坐標，可表示出BP和MP，由M、B的坐標可求得BM的長，由條件可得BM=BP或BM=PM，則可得到關于a的方程，可求得a的值，可求得P點坐標．

解答 解：
（1）∵A（-3，4），
∴AO=$\sqrt{（-3）^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵四邊形ABCO為菱形，
∴CO=AB=5，
∴C（5，0），
設直線AC解析式為y=kx+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=4}\\{5k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴直線AC解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$；
（2）∵AB∥OC，
∴可設B（x，4），
∵AB=5，
∴x-（-3）=5，解得x=2，
∴B點坐標為（2，4），
∵P（a，4），
∴BP=2-a，
在y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$中，令x=0可得y=$\frac{5}{2}$，
∴M（0，$\frac{5}{2}$），且OH=4，
∴MH=4-$\frac{5}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}$BP•MH=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$（2-a）=-$\frac{3}{4}$a+$\frac{3}{2}$，
∵點P在線段AB上，
∴-3≤a≤2；
（3）∵P（a，4），M（0，$\frac{5}{2}$），B（2，4），
∴BP=2-a，MP=$\sqrt{{a}^{2}+（4-\frac{5}{2}）^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{9}{4}}$，BM=$\sqrt{{2}^{2}+（4-\frac{5}{2}）^{2}}$=$\sqrt{4+\frac{9}{4}}$=$\frac{5}{2}$，
若△BPM是以BM為腰的等腰三角形，則有BM=BP或BM=MP，
當BM=BP時，即2-a=$\frac{5}{2}$，解得a=-$\frac{1}{2}$，則P點坐標為（-$\frac{1}{2}$，4），
當BM=MP時，即$\sqrt{{a}^{2}+\frac{9}{4}}$=$\frac{5}{2}$，解得a=2或a=-2，而當a=2時，B、P兩點重合，不合題意，舍去，
∴a=-2，此時P點坐標為（-2，4）；
綜上可知存在滿足條件的點P，其坐標為（-$\frac{1}{2}$，4）或（-2，4）．

點評 本題為一次函數的綜合應用，涉及待定系數法、菱形的性質、勾股定理、三角形的面積、等腰三角形的性質、分類討論思想及方程思想．在（1）中，注意利用菱形的性質求得OC的長是解題的關鍵，在（2）中分別求得BP和MH是解題的關鍵，在（3）中用a分別表示出BP、MP是解題的關鍵，注意分兩種情況討論．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．