Question

19．已知：如圖，AB為⊙O的直徑，點C為AB延長線上一點，動點P從點A出發沿AC方向以1cm/s的速度運動，同時動點Q從點C出發以相同的速度沿CA方向運動，當兩點相遇時停止運動，過點P作AB的垂線，分別交⊙O于點M和點N，已知⊙O的半徑為2，AC=10，設運動時間為ts．
（1）求證：△AMQ≌△ANQ；
（2）填空：
①當t=$\frac{10}{3}$時，四邊形AMQN為菱形；
②當t=5-$\sqrt{5}$時，NQ與⊙O相切．

Answer 1

分析 （1）由垂徑定理可證AN=AM，進而可證∠NAQ=∠MAQ，由SAS即可證明△AMQ≌△ANQ；
（2）①AP=t，CQ=t，則PQ=10-2t，由于NM⊥AB，根據垂徑定理得PM=PN，根據菱形的判定方法，當PA=PQ時，四邊形AMQN為菱形，即t=10-2t，然后解一元一次方程可求t的值；
②根據切線的判定定理，當∠ONQ=90°時，NQ與⊙O相切，如圖，此時OP=t-2，OQ=AC-OA-QC=8-t，再證明Rt△ONP∽Rt△OQN，利用相似比可得關于t的方程，然后解一元二次方程可得到t的值．

解答 解：
（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，NM⊥AB于點P，
∴$\widehat{AN}=\widehat{AM}$，
∴AN=AM，
∴∠ANP=∠AMP，
∵∠APN=∠APM=90°，
∴∠NAQ=∠MAQ，
在△AMQ和△ANQ中
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AN}\\{∠MAQ=∠NAQ}\\{AQ=AQ}\end{array}\right.$，
∴△AMQ≌△ANQ（SAS）；

（2）①∵動點P從點A出發沿AC方向以1cm/s的速度運動，同時動點Q從點C出發以相同的速度沿CA方向運動，
∴AP=t，CQ=t，則PQ=10-2t，
∵NM⊥AB，
∴PM=PN，
∴當PA=PQ時，四邊形AMQN為菱形，即t=10-2t，解得t=$\frac{10}{3}$；
②當∠ONQ=90°時，NQ與⊙O相切，如圖，

OP=t-2，OQ=AC-OA-QC=10-2-t=8-t，
∵∠NOP=∠QON，
∴Rt△ONP∽Rt△OQN，
∴$\frac{ON}{OQ}=\frac{OP}{ON}$，
即$\frac{2}{8-t}=\frac{t-2}{2}$，
整理得t²-10t+20=0，解得t₁=5-$\sqrt{5}$，t₂=5+$\sqrt{5}$，
∵P，Q兩點相遇時停止運動，
∴2≤t≤5，
∴t₂=5+$\sqrt{5}$舍去，
即當t=5-$\sqrt{5}$時，NQ與⊙O相切，
故答案為：$\frac{10}{3}$；5-$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了和圓有關的綜合性題目，用到的知識點有：垂徑定理、全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質、菱形的判定和性質以及切線的判定和性質，題目的綜合性較強，難度中等，特別是對學生計算能力的要氣很高，熟練掌握解一元二次方程和圓的有關性質是解題的關鍵．