Question

7．如圖，在等腰Rt△ABC中，AB=BC；AD平分∠BAC交BC邊于點D，點E是AD邊上靠近端點A的一動點，以AE為邊往上作等腰Rt△AEF，且AE=EF，延長FE交AC于點G；點M為FC中點，連接BM、EM、BE、DM；則下列5個結(jié)論：①FA=FG；②△ABD與△ACD的面積比為1：$\sqrt{2}$；③AC=（$\sqrt{2}$+1）BD；④∠MDC=90°；⑤△BME為等腰三角形，但不一定為直角三角形，其中正確的有（　　）個．

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 ①正確．只要證明∠FAG=∠FGA=67.5°即可．
②正確．作DN⊥AC于N，因為DA平分∠BAC，∠DAB=∠DAC，所以DB=DN，故$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{\frac{1}{2}•AB•DB}{\frac{1}{2}•AC•DN}$=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$．
③錯誤．由△ADN≌△ADB，可知AN=AB=BC，所以DC=$\sqrt{2}$DN=$\sqrt{2}$BD，所以AC=AN+CN=BC+BD=2BD+$\sqrt{2}$BD=（2+$\sqrt{2}$）BD．
④錯誤．觀察圖2，即可解決問題．
⑤錯誤．如圖1中，延長EM到H，使得MH=EM，連接BH、CH延長AD交CH的延長線于K．先證明△MFE≌△MCH，再證明△BAE≌△BCH，即可證明△EBM是等腰直角三角形．

解答 解：如圖1中，

∵BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠BCA=45°，AC=$\sqrt{2}$AB，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB=∠DAC=22.5°，
∵EA=EF，∠AEF=90°，
∴∠EAF=∠EFA=45°，
∴FAG=67.5°，∠FGA=180°-∠FAG-∠AFE=67.5°，
∴∠FAG=∠FGA，
∴FA=FG，故①正確，
作DN⊥AC于N，
∵DA平分∠BAC，∠DAB=∠DAC，
∴DB=DN，
∴$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{\frac{1}{2}•AB•DB}{\frac{1}{2}•AC•DN}$=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，故②正確，
由△ADN≌△ADB，可知AN=AB=BC，
∴DC=$\sqrt{2}$DN=$\sqrt{2}$BD，
∴AC=AN+CN=BC+BD=2BD+$\sqrt{2}$BD=（2+$\sqrt{2}$）BD，故③錯誤，
如圖2中，當點M在線段AD上時，∠MDC=∠ABD+∠BAD＞90°，故④錯誤．

如圖1中，延長EM到H，使得MH=EM，連接BH、CH延長AD交CH的延長線于K．
在△MFE和△MCH中，
$\left\{\begin{array}{l}{MF=MC}\\{∠FME=∠CMH}\\{EM=MH}\end{array}\right.$，
∴△MFE≌△MCH，
∴CH=EF=AE，∠MFE=∠MCH，
∴EF∥CK，
∴∠FED=∠K=90°，
∵∠BAE+∠ADB=90°，∠BCH+∠CDK=90°，∠ADB=∠CDK，
∴∠BAE=∠BCH，
在△BAE和△BCH中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BC}\\{∠BAE=∠BCH}\\{AE=CH}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△BCH，
∴BE=BH，∠ABE=∠CBH，
∴∠EBH=∠ABC=90°，∵EM=MH，
∴BM⊥EM，BM=$\frac{1}{2}$EH=EM，
∴△EBM是等腰直角三角形，故⑤錯誤．
故選A．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理、三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，所以中考選擇題中的壓軸題．