Question

6．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，弦AD平分∠BAC，交BC于點E，AB=10，AD=8，則AE的長為$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 連接BD、CD，由勾股定理先求出BD的長，再利用△ABD∽△BED，得出$\frac{DE}{DB}=\frac{DB}{AD}$，可解得DE的長，由AE=AD-DE求解即可得出答案．

解答 解：連接BD、CD，如圖所示，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∵弦AD平分∠BAC，
∴CD=BD=6，
∴∠CBD=∠DAB，
∴△ABD∽△BED，
∴$\frac{DE}{DB}=\frac{DB}{AD}$，即$\frac{DE}{6}=\frac{6}{8}$，
解得DE=$\frac{9}{2}$，
∴AE=AD-DE=8-$\frac{9}{2}$=$\frac{7}{2}$；
故答案為：$\frac{7}{2}$．

點評 此題主要考查了三角形相似的判定和性質及圓周角定理，解答此題的關鍵是得出△ABD∽△BED．