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4．當m＜-1時，分式$\frac{2}{{x}^{2}-2x-m}$無論x取何值都有意義．

分析分式總有意義，即分母不等于0，即當分母等于0時，對應的方程無解．

解答解：根據題意得：x²-2x-m=0中，
△=4+4m＜0．
解得：m＜-1．
故答案是：＜-1．

點評本題考查了分式有意義的條件以及二次方程有解的條件，轉化為一元二次方程的解的問題是關鍵．

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15．比較大小：2¹⁸×3¹⁰與2¹⁰×3¹⁵．

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12．通分：
（1）$\frac{1}{{a}^{2}b}$，$\frac{1}{a{b}^{2}}$；
（2）$\frac{2}{{x}^{2}+x}$，$\frac{4}{3{x}^{2}-6x}$．

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19．

已知：如圖，AB為⊙O的直徑，點C為AB延長線上一點，動點P從點A出發沿AC方向以1cm/s的速度運動，同時動點Q從點C出發以相同的速度沿CA方向運動，當兩點相遇時停止運動，過點P作AB的垂線，分別交⊙O于點M和點N，已知⊙O的半徑為2，AC=10，設運動時間為ts．
（1）求證：△AMQ≌△ANQ；
（2）填空：
①當t=$\frac{10}{3}$時，四邊形AMQN為菱形；
②當t=5-$\sqrt{5}$時，NQ與⊙O相切．

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