Question

9．在?ABCD的邊AB、BC、CD、DA上依次取點A₁，B₁，C₁，D₁使四邊形A₁B₁C₁D₁也是平行四邊形，求證：?A₁B₁C₁D₁和?ABCD有相同的中心．

Answer 1

分析 根據平行線的性質得到∠C₁A₁A=∠CC₁A₁，∠C₁A₁D₁=∠B₁C₁A₁，根據全等三角形的性質得到AA₁=CC₁；連接B₁D₁交A₁C₁于O，分別連接OA和OC，根據全等三角形的性質得到∠COC₁=∠AOA₁，由C₁、O、A₁在一直線上，得到∠COC₁+∠COA₁=180度，則∠AOA₁+∠COA₁=180度，于是得到結論．

解答 證明：∵AB∥CD，
∴∠C₁A₁A=∠CC₁A₁，
∵A₁D₁∥C₁B₁，
∴∠C₁A₁D₁=∠B₁C₁A₁，
∠1=∠C₁A₁A-∠C₁A₁D₁；∠2=∠CC₁A₁-∠B₁C₁A₁，
∴∠1=∠2，又∠A₁AD₁=∠B₁CC₁，A₁D₁=B₁C₁，
在△AA₁D₁與△CC₁B₁中，$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{∠BAD=∠DCB}\\{{A}_{1}{D}_{1}={B}_{1}{C}_{1}}\end{array}\right.$，
∴△AA₁D₁≌△CC₁B₁
∴AA₁=CC₁；
連接B₁D₁交A₁C₁于O，分別連接OA和OC，
在△AA₁O與△CC₁O中，∵∠C₁A₁A=∠CC₁A₁，OA₁=OC₁，
$\left\{\begin{array}{l}{O{A}_{1}=O{C}_{1}}\\{∠{C}_{1}{A}_{1}A=∠C{C}_{1}{A}_{1}}\\{A{A}_{1}=C{C}_{1}}\end{array}\right.$．
∴△AA₁O≌△CC₁O，
∴∠COC₁=∠AOA₁，
∵C₁、O、A₁在一直線上，
∴∠COC₁+∠COA₁=180度，則∠AOA₁+∠COA₁=180度，
∴點C、O、A在一直線上，即O在AC上
同理可證：點D、O、B在一直線上，即O在BD上
∴兩個平行四邊形的對稱中心相同．

點評 本題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判斷和性質．熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．