Question

4．如圖，四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E、F分別是AC、BD的中點(diǎn)，∠BAC=15°，∠DAC=45°，則$\frac{EF}{CD}$的值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 連接BE，ED，根據(jù)∠ABC=∠ADC=90°且E為AC中點(diǎn)，求證△BED是等腰三角形，再利用等腰三角形的高，中線，角平分線三線合一的性質(zhì)得到EF⊥BD，
根據(jù)圓周角定理得到∠DEF=60°，求得EF=$\frac{1}{2}$DE，CD=$\sqrt{2}$DE，于是得出結(jié)論．

解答 解：連接BE，ED，
∵∠ABC=∠ADC=90°且E為AC中點(diǎn)，
∴DE=$\frac{1}{2}$AC，BE=$\frac{1}{2}$AC，
∴BE=DE，
∵F為BD中點(diǎn)，
∴EF⊥BD，
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴A，B，C，D四點(diǎn)共圓，
∵∠BAC=15°，∠DAC=45°，
∴∠BAD=60°，
∴∠BED=120°，
∴∠FED=60°，
∴EF=$\frac{1}{2}$DE，
∵CD=$\sqrt{2}$DE，
∴$\frac{EF}{CD}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評 此題主要考查直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半和等腰三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，解答此題的關(guān)鍵是連接BE，ED，根據(jù)∠ABC=∠ADC=90°且E為AC中點(diǎn)，證出△BED是等腰三角形．