Question

11．在平面直角坐標系中，⊙P的圓心P的坐標為（a，4），半徑為2，函數y=x的圖象被⊙P截得的弦AB的長為$2\sqrt{3}$，則a的值為4-$\sqrt{2}$或4+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 分為兩種情況：①當P在直線y=x的左邊時，過P₁D⊥AB于D，由垂徑定理求出AD、由勾股定理求出P₁D，過P₁作P₁D∥直線y=x，交y軸于D，過D作DB⊥直線y=x于B，得出DB=P₁D=1，OB=DB=1，由勾股定理求出DO，得出直線P₁D的解析式是y=x+$\sqrt{2}$，把P（a，4）代入求出a即可；②與①解法類似，當P在直線y=x的右邊時，同法得出直線的解析式y=x-$\sqrt{2}$，把p（a，4）代入求出a的另一個值．

解答 解：分為兩種情況：

①當P在直線y=x的左邊時，過P₁D′⊥AB于D′，
由垂徑定理得：AD′=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∵P₁A=2，由勾股定理得：P₁D′=1，
過P₁作P₁D∥直線y=x，交y軸于D，過D作DB⊥直線y=x于B，則DB=P₁D=1，
∵直線y=x，
∴∠DOB=45°，
∴OB=DB=1，由勾股定理得：DO=$\sqrt{2}$，
∵直線P₁D∥直線y=x，
∴直線P₁D的解析式是y=x+$\sqrt{2}$（即把直線y=x相上平移$\sqrt{2}$個單位），
∴把P（a，4）代入得：4=a+$\sqrt{2}$，
∴a=4-$\sqrt{2}$，
②當P在直線y=x的右邊時，與①解法類似，P₂M=ON=1，
由勾股定理得OH=$\sqrt{2}$，
把直線y=x向下平移$\sqrt{2}$個單位得出直線y=x-$\sqrt{2}$，
把p（a，4）代入求出a的另一個值是4+$\sqrt{2}$．
故答案為：4-$\sqrt{2}$或4+$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了等腰三角形性質和判定，勾股定理，坐標與圖形性質，垂徑定理等知識點，主要考查學生的分析問題和解決問題的能力，注意：此題要進行分類討論．