Question

16．如圖，A、B兩城市相距80km，現計劃在這兩座城市間修建一條高速公路（即線段AB），經測量，森林保護中心P在A城市的北偏東30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保護區的范圍在以P點為圓心，50km為半徑的圓形區域內，請問計劃修建的這條高速公路會不會穿越保護區，為什么？（參考數據：$\sqrt{3}$≈1.732，$\sqrt{2}$≈1.414）

Answer 1

分析 過點P作PM⊥AB，M是垂足．AM與BM就都可以根據三角函數用PPM表示出來．根據AB的長，得到一個關于PM的方程，解出PM的長．從而判斷出這條高速公路會不會穿越保護區．

解答 解：作PM⊥AB，

由題意得：AE∥PM∥BF，
∴∠APM=30°，∠BPM=45°，
∴PM=$\frac{AM}{tan∠APM}$=$\sqrt{3}$AM，BM=PM，
設BM=PM=x，則AM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴$\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+x=80$
∴x=120-40$\sqrt{3}$≈50.72＞50，
∴這條高速公路不會穿越保護區．

點評 本題主要考查解直角三角形的應用，解一般三角形的問題一般可以轉化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．