Question

8．如圖，已知⊙O過邊長為4的正方形ABCD頂點A、B．
（1）若⊙O與邊CD相似．
①請用直尺和圓規作出⊙O（保留作圖痕跡，不寫作法）；
②求⊙O的半徑；
（2）過點O作MN⊥AB，分別交AB、CD于點M、N，⊙O與邊AD交于點E，與線段MN交于點F，連接EN、AF，當△DEN與△AFM相似時，畫出圖形，并在圖形下方直接寫出⊙O的半徑長．
（注：若有多種情況，每種情況單獨用一個圖形表示）

Answer 1

分析 （1）①如圖1中，作線段AB的垂直平分線EF，交CD于F，連接AF，作線段AF的垂直平分線MN交EF于點O，以點O為圓心，OA的長為半徑作⊙O，⊙O即為所求．②如圖2中，設⊙O與AD、DC分別交于點E、F，FO的延長線交AB于M，設OA=x，則AM=2，FO=x，OM=4-x，在Rt△AMO中，根據OA²=OM²+AM²，列出方程求解即可．
（2）①如圖3中，當△DEN∽△MFA時，設AG=GE=OM=a，AE=FN=2a，由NM=4，得3a+r=4  ①在Rt△AOM中，由OA²=OM²+AM²，得2²+a²=r²  ②，解方程組即可解決問題．②如圖4中，當⊙O與CD相切時，連接BN．只要證明△DEN∽△MAN，即可解決問題．

解答 解：（1）①如圖1中，作線段AB的垂直平分線EF，交CD于F，連接AF，作線段AF的垂直平分線MN交EF于點O，以點O為圓心，OA的長為半徑作⊙O，⊙O即為所求．

②如圖2中，設⊙O與AD、DC分別交于點E、F，FO的延長線交AB于M，設OA=x，則AM=2，FO=x，OM=4-x，

在Rt△AMO中，∠AMD=90°，OA²=OM²+AM²，
∴x²=2²+（4-x）²，解得x=2.5，
∴⊙O的半徑為2.5．

（2）①如圖3中，當△DEN∽△MFA時，

∵AM=DN，
∴△DEN≌△MFA，
∴FM=DE，AE=FN，設⊙O的半徑為r，OM=a，
∵OA=OE，OG⊥AE，
∴AG=GE，
∵四邊形AMOG是矩形，
∴AG=GE=OM=a，AE=FN=2a，
∵NM=4，
∴3a+r=4  ①
在Rt△AOM中，∵OA²=OM²+AM²，
∴2²+a²=r²  ②，
由①②可得r=$\frac{3\sqrt{3}-1}{2}$．

②如圖4中，當⊙O與CD相切時，連接BN．

∵∠DEN+∠AEN=180°，∠ABN+∠AEN=180°，
∴∠DEN=∠ABN，
∵OM⊥AB，
∴$\widehat{AN}$=$\widehat{BN}$，
∴∠BAN=∠ABN=∠DEN，∵∠EDN=∠AMN，
∴△DEN∽△MAN，
由（1）可知此時⊙O的半徑為2.5．

點評 本題考查圓綜合題、正方形的性質、相似三角形的判定和性質、勾股定理的等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，學會利用參數，構建方程以及方程組解決問題，屬于中考壓軸題．