Question

5．在平面直角坐標系中，拋物線y=-x²+2bx+c與x軸交于點A、B（點A在點B的右側），且與y軸正半軸交于點C，已知A（2，0）
（1）當B（-4，0）時，求拋物線的解析式；
（2）O為坐標原點，拋物線的頂點為P，當tan∠OAP=3時，求此拋物線的解析式；
（3）O為坐標原點，以A為圓心OA長為半徑畫⊙A，以C為圓心，$\frac{1}{2}$OC長為半徑畫圓⊙C，當⊙A與⊙C外切時，求此拋物線的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可確定出函數(shù)解析式；
（2）用tan∠OAP=3建立一個b，c的關系，再結合點A得出的等式即可求出b，c進而得出函數(shù)關系式；
（3）用兩圓外切，半徑之和等于AC建立方程結合點A代入建立的方程即可得出拋物線解析式．

解答 解：（1）把點A（2，0）、B（-4，0）的坐標代入y=-x²+2bx+c得，$\left\{\begin{array}{l}{-4+4b+c=0}\\{-16-8b+c=0}\end{array}\right.$，
∴b=-1．c=8，
∴拋物線的解析式為y=-x²-2x+8；
（2）如圖1，設拋物線的對稱軸與x軸的交點為H，把點A（2，0）的坐標代入y=-x²+2bx+c得，
-4+4b+c=0①，
∵拋物線的頂點為P，
∴y=-x²+2bx+c=-（x-b）²+b²+c，
∴P（b，b²+c），
∴PH=b²+c，AH=2-b，
在Rt△PHA中，tan∠OAP=$\frac{PH}{AH}=3$，
∴$\frac{{b}^{2}+c}{2-b}$=3②，
聯(lián)立①②得，$\left\{\begin{array}{l}{-4+4b+c=0}\\{\frac{{b}^{2}+c}{2-b}=3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=-4}\end{array}\right.$（不符合題意，舍）或$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-x²-2x+8；
（3）∵如圖2，拋物線y=-x²+2bx+c與y軸正半軸交于點C，
∴C（0，c）（c＞0），
∴$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}$c，
∵A（2，0），
∴OA=2，
∴AC=$\sqrt{{c}^{2}+4}$，
∵⊙A與⊙C外切，
∴AC=$\frac{1}{2}$c+2=$\sqrt{{c}^{2}+4}$，
∴c=0（舍）或c=$\frac{8}{3}$，
把點A（2，0）的坐標代入y=-x²+2bx+c得，-4+4b+c=0，
∴b=$\frac{1}{3}$，
∴拋物線的解析式為y=-x²+$\frac{2}{3}$x+$\frac{8}{3}$．

點評 此題是圓的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，銳角三角函數(shù)，兩圓外切的性質等知識點；（2）中用tan∠OAP=3建立方程和（3）中兩圓的半徑之和等于AC建立方程是解答關鍵．