Question

17．當0≤x≤2時，y=ax²+4（a+1）x-3在x=2時取得最大值，則實數a的取值范圍是a$＞-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根據題意，可以分三種情況進行討論，然后根據三種情況，從而可以得到a的取值范圍．

解答 解：∵當0≤x≤2時，y=ax²+4（a+1）x-3在x=2時取得最大值，
∴當a＞0時，a×2²+4（a+1）×2-3＞a×0²+4（a+1）×0-3，
解得，a＞$-\frac{2}{3}$，
∴a＞0；
當a＜0時，$\left\{\begin{array}{l}{a×22+4（a+1）×2-3＞a×02+4（a+1）×0-3}\\{2≤-\frac{4（a+1）}{2a}}\end{array}\right.$，
解得，a$＞-\frac{1}{2}$，
∴$-\frac{1}{2}＜a＜0$；
當a=0時，y=4x-3，則在當0≤x≤2時，y=4x-3在x=2時，取得最大值；
由上可得，實數a的取值范圍是a$＞-\frac{1}{2}$，
故答案為：a$＞-\frac{1}{2}$．

點評 本題考查二次函數的最值，解答問題的關鍵是明確題意，利用分類討論的數學思想解答，易錯點是容易把a=0這種情況漏掉．