Question

6．已知函數(shù)y=x²-2x-3與x軸交于A，B（A在B左邊），與y軸交于C，頂點(diǎn)為D，對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于K，在對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)P，求滿(mǎn)足下列條件的點(diǎn)P．
（1）使△PAC為等腰三角形；
（2）①使△PAC為直角三角形；
②在第三象限找點(diǎn)Q使△QAC為以AC為腰的等腰直角三角形．

Answer 1

分析 （1）先確定出點(diǎn)A，C的坐標(biāo)和拋物線的對(duì)稱(chēng)軸x=1，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用等腰三角形的性質(zhì)分三種建立方程求解；
（2）①先設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，分三種情況利用勾股定理建立方程，解方程即可得出結(jié)論；注意點(diǎn)（1，6）不滿(mǎn)足構(gòu)成三角形的條件；
②先確定出直線AC的解析式，分兩種情況確定出直線AQ和AQ'的解析式，利用兩直角邊相等建立方程，解方程求解即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，∵函數(shù)y=x²-2x-3與x軸交于A，B（A在B左邊），與y軸交于C，
∴令x=0，
∴y=-3，
∴C（0，-3），
令y=0，
∴x²-2x-3=0，
∴x=-1或x=3，
∵A在B左邊，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，
設(shè)點(diǎn)P（1，m），
∴PA²=（1+1）²+m²=m²+4，PC²=1+（m+3）²，AC²=1+9=10，
∵△PAC為等腰三角形；
①當(dāng)PA=PC時(shí)，PA²=PC²，
∴m²+4=1+（m+3）²，
∴m=-1，
∴P（1，-1）
②當(dāng)PA=AC時(shí)，PA²=AC²，
∴m²+4=10，
∴m=±$\sqrt{6}$，
∴P（1，$\sqrt{6}$）或（1，-$\sqrt{6}$）
③當(dāng)AC=PC時(shí)，AC²=PC²，
∴10=1+（m+3）²，
∴m=0或m=-6，
∴P（1，0）或（1，-6），
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
∵A（-1，0），C（0，-3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=-3x-3，
當(dāng)P（1，-6）時(shí)，剛好在直線AC上，
∴點(diǎn)A，C，P不能構(gòu)成三角形，所以舍去，
即：滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-1）或（1，$\sqrt{6}$）或（1，-$\sqrt{6}$）或（1，0）；
（2）①如圖2，設(shè)點(diǎn)P（1，m），
由（1）知，PA²=（1+1）²+m²=m²+4，PC²=1+（m+3）²，AC²=1+9=10，
∴△PAC為直角三角形；
Ⅰ、當(dāng)∠PAC=90°時(shí)，PA²+AC²=PC²，
∴m²+4+10=1+（m+3）²，
∴m=$\frac{2}{3}$，
∴P（1，$\frac{2}{3}$）
Ⅱ、當(dāng)∠PCA=90°時(shí)，PC²+AC²=PA²，
∴1+（m+3）²+10=m²+4，
∴m=-$\frac{8}{3}$，
∴P（1，-$\frac{8}{3}$）
Ⅲ、當(dāng)∠APC=90°時(shí)，PA²+PC²=AC²，
∴m²+4+1+（m+3）²=10，
∴m=-1或m=-2，
∴P（1，-1）或（1，-2）
∴滿(mǎn)足條件的P的坐標(biāo)為（1，$\frac{2}{3}$）或（1，-$\frac{8}{3}$）或（1，-1）或（1，-2）；
②如圖3，由（1）知，AC²=10，直線AC的解析式為y=-3x-3，
∵△QAC為以AC為腰的等腰直角三角形，
∴Ⅰ、當(dāng)∠CAQ=90°時(shí)，AQ=AC，
∴AQ²=AC²，
∵A（-1，0），
∴直線AQ的解析式為y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{1}{3}$，
設(shè)Q（a，$\frac{1}{3}$a+$\frac{1}{3}$），
∵點(diǎn)Q在第三象限，
∴a＜0，
∵A（-1，0），
∴AQ²=（a+1）²+（$\frac{1}{3}$a+$\frac{1}{3}$）²=$\frac{10}{9}$（a+1）²=10，
∴a=2（舍）或a=-4，
∴Q（-4，-1）；
Ⅱ、當(dāng)∠ACQ'=90°時(shí)，AC²=AQ'²，
∵C（0，-3），
∴直線AQ'的解析式為y=$\frac{1}{3}$x-3，
設(shè)Q'（n，$\frac{1}{3}$n-3），
∵點(diǎn)Q'在第三象限，
∴n＜0，
∴CQ'²=n²+（$\frac{1}{3}$n-3+3）²=$\frac{10}{9}$n²=10，
∴n=-3或n=3（舍），
∴Q'（-3，-4），
∴滿(mǎn)足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-4，-1）或（-3，-4）．

點(diǎn)評(píng) 此題是三角形的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)．解答（1）和（3）的關(guān)鍵是用邊相等建立方程，解答（2）的關(guān)鍵是用勾股定理建立方程．方程思想和分類(lèi)討論思想是解答此類(lèi)問(wèn)題的常用數(shù)學(xué)思想．