Question

1．如圖1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=3$\sqrt{3}$，BC=3，將△ABC沿著一條直線折疊后，使點A與點C重合，如圖2．
（1）在如圖1中畫出折痕所在的直線l，設直線l與AB，AC分別相交于點D，E，連接CD（要求用尺規作圖，不寫作法，但保留作圖痕跡）
（2）求證：△CDB是等邊三角形；
（3）請你計算四邊形EDBC的周長．

Answer 1

分析 （1）直線l是線段AC的垂直平分線，利用尺規即可作圖；
（2）利用勾股定理求得BC的長，然后利用等角對等邊證明CD=BD，求得CD的長度，根據等邊三角形的定義證明；
（3）首先根據E是AC的中點求得CE的長，在直角△CDE中利用勾股定理求得DE的長，則四邊形的周長即可求得．

解答 解：（1）如圖所示：
；
（2）∵∠ACB=90°，AC=3$\sqrt{3}$，BC=3，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{（3\sqrt{3}）^{2}+{3}^{2}}$=6，
∵DE是AC的垂直平分線
∴AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA，∠DAC+∠B=∠DCA+∠BCD=90°，∠B=∠BCD，CD=BD=AD=$\frac{1}{2}$AB=3，
CD=BD=BC．
（3）∵DE是AC的垂直平分線
∴AE=EC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
∵CD=3，DE=$\sqrt{C{D}^{2}-E{C}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}-（\frac{3\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{3}{2}$，
四邊形EDBC的周長=DE+EC+BC+DB=$\frac{3}{2}$+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$+3+3=$\frac{15+3\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了線段的垂直平分線的性質以及勾股定理的應用，正確理解DE是垂直平分線是關鍵．