Question

13．如圖，在邊長為2$\sqrt{3}$的正方形ABCD中，點E為AD邊的中點，將△ABE沿BE翻折，使點A落在點A′處，作射線EA′，交BC的延長線于點F，則CF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 先根據正方形的性質得AB=AD=BC=2$\sqrt{3}$，AD∥BC，得到∠AEB=∠EBF，再根據折疊的性質得∠AEB=∠BEF，EA′=AE=$\sqrt{3}$，∠BA′E=∠A=90°，A′B=AB=2$\sqrt{3}$，可推出∠BEF=∠EBF，證得BF=EF，設CF=x，則BF=2$\sqrt{3}$+x，A′F=$\sqrt{3}$+x，在Rt△A′BF中，由勾股定理得：（2$\sqrt{3}$）²+（$\sqrt{3}$+x）²=（2$\sqrt{3}$+x）²，解此方程即可求得結論．

解答 解：∵正方形ABCD，
∴AB=AD=BC=2$\sqrt{3}$，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBF，
∵E為AD邊的中點，
∴AE=$\sqrt{3}$，
由折疊的性質得∠AEB=∠BEF，EA′=AE=$\sqrt{3}$，∠BA′E=∠A=90°，A′B=AB=2$\sqrt{3}$，
∴∠BEF=∠EBF，
∴BF=EF，
設CF=x，則BF=2$\sqrt{3}$+x，A′F=$\sqrt{3}$+x，
在Rt△A′BF中，（2$\sqrt{3}$）²+（$\sqrt{3}$+x）²=（2$\sqrt{3}$+x）²，
解得：x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故答案為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．也考查了正方形的性質和勾股定理．