Question

15．如圖①，在長方形ABCD中，AB=DC=3cm，BC=5cm，點P從點B出發，以1cm/s的速度沿BC向點C運動，設點P的運動時間為ts．
（1）PC=（5-t）cm．（用含t的代數式表示）；
（2）當t為何值時，△ABP≌△DCP，請說明理由；
（3）如圖②，當點P從點B開始運動時，點Q從點C出發，以acm/s的速度沿CD向點D運動，是否存在這樣a的值，使得△ABP與△PCQ全等？若存在，請求出a的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據題意求出BP，計算即可；
（2）根據全等三角形的判定定理解答；
（3）分△ABP≌△QCP和△ABP≌△PCQ兩種情況，根據全等三角形的性質解答．

解答 解：（1）∵點P的速度是1cm/s，
∴ts后BP=tcm，
∴PC=BC-BP=（5-t）cm，
故答案為：5-t；
（2）當t=2.5時，△ABP≌△DCP，
∵當t=2.5時，BP=CP=2.5，
在△ABP和△DCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DC}\\{∠B=∠C}\\{BP=CP}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△DCP；
（3）∵∠B=∠C=90°，
∴當AB=PC，BP=CQ時，△ABP≌△PCQ，
∴5-t=3，t=at，
解得，t=2，a=1，
當AB=QC，BP=CP時，△ABP≌△QCP，
此時，點P為BC的中點，點Q與點D重合，
∴t=2.5，at=3，
解得，a=1.2，
綜上所述，當a=1或a=1.2時，△ABP與△PCQ全等．

點評 本題考查的是矩形的性質、全等三角形的判定和性質，掌握矩形的對邊相等、四個角都是直角以及全等三角形的判定定理和性質定理、靈活運用分情況討論思想是解題的關鍵．