Question

10．如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，∠ACD=∠B，AD⊥CD．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若AD=1，OA=2，求CD的值．

Answer 1

分析 （1）連接OB，由圓周角定理得出∠ACB=90°，由等腰三角形的性質得出∠B=∠BCO，證出∠OCD=∠OCA+∠BCO=∠ACB=90°，即可得出結論；
（2）證明△ACB∽△ADC，得出AC²=AD•AB，根據勾股定理即可得出結果．

解答 （1）證明：連接OC，如圖所示：
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ACB=90°，
∵OB=OC，
∴∠B=∠BCO，
又∵∠ACD=∠B，
∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=∠OCA+∠BCO=∠ACB=90°，
即OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切線；
（2）解：∵AD⊥CD，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
又∵∠ACD=∠B，
∴△ACB∽△ADC，
∴AC²=AD•AB=1×4=4，
∴AC=2，
∴CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了切線的判定、等腰三角形的性質、相似三角形的判定與性質；熟練掌握切線的判定，證明三角形相似是解決問題（2）的關鍵．