Question

5．如圖，已知二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點A（-1，0），頂點坐標為（1，n），與y軸的交點在（0，2）和（0，3）之間（不包括端點）．有下列結論：①當x＞3時，y＜0；②n=c-a；③3a+b＞0；④-1＜a＜-$\frac{2}{3}$．其中正確的結論有（　　）

• A． 1 個
• B． 2 個
• C． 3 個
• D． 4 個

Answer 1

分析 由拋物線與x軸的交于點A（-1，0）且對稱軸為x=1，知函數圖象與x軸的另一個交點為（3，0），結合圖象可判斷①；由對稱軸為x=-$\frac{b}{2a}$=1得b=-2a，將其代入n=a+b+c可判斷②；由開口方向知a＜0，將b=-2a代入3a+b即可判斷③；由圖象過（-1，0）知a-b+c=0，將b=-2a代入可得c=-3a，結合拋物線與y軸的交點在（0，2）和（0，3）之間（不包括端點）得2＜c＜3，即2＜-3a＜3，從而判斷④．

解答 解：∵函數圖象與x軸交于點A（-1，0），且對稱軸為x=1，
則函數圖象與x軸的另一個交點為（3，0），
∴當x＞3時，y＜0，故①正確；

∵拋物線的對稱軸為x=-$\frac{b}{2a}$=1，
∴b=-2a，
∵頂點坐標為（1，n），
∴n=a+b+c=a-2a+c，即n=c-a，故②正確；

∵拋物線的開口向下，
∴a＜0，
∵b=-2a，
∴3a+b=3a-2a=a＜0，故③錯誤；

∵函數圖象過點（-1，0），即x=-1時，y=0，
∴a-b+c=0，
∵b=-2a，
∴a+2a+c=0，即c=-3a，
∵拋物線與y軸的交點在（0，2）和（0，3）之間（不包括端點），
∴2＜c＜3，即2＜-3a＜3，
解得：-1$＜a＜-\frac{2}{3}$，故④正確；
綜上，①②④正確，
故選：C．

點評 本題主要考查二次函數圖象與系數的關系，掌握①二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小．②一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置．③常數項c決定拋物線與y軸交點．④拋物線與x軸交點個數取決于b²-4ac的值是解題的關鍵