Question

13．如圖，在⊙O中，直徑AB⊥CD于點E，AB=8，BE=1.5，將$\widehat{AD}$沿著AD對折，對折之后的弧稱為M，則點O與M所在圓的位置關系為（　　）

• A． 點在圓上
• B． 點在圓內
• C． 點在圓外
• D． 無法確定

Answer 1

分析 作輔助線，根據垂徑定理得：AF=FD=$\frac{1}{2}$AD，根據直徑得出半徑的長為4，根據勾股定理計算得出ED和AD的長，接著計算OF和FH的長，做比較，O與新圓心的距離小于半徑的長，得出結論．

解答 解：過O作OF⊥AD，交⊙O于G，交M于H，連接OD，
∵AB為⊙O的直徑，AB=8，
∴OA=OB=OG=OD=4，
∵BE=1.5，
∴OE=4-1.5=2.5，
在Rt△OED中，由勾股定理得：DE=$\sqrt{O{D}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{39}}{2}$，
在RtAED中，AD=$\sqrt{A{E}^{2}+E{D}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{13}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{39}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{208}{4}}$=2$\sqrt{13}$，
∵OF⊥AD，
∴AF=$\frac{1}{2}$AD=$\sqrt{13}$，
由勾股定理得：OF=$\sqrt{O{A}^{2}-A{F}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-（\sqrt{13}）^{2}}$=$\sqrt{3}$，
由折疊得：M所在圓與圓O是等圓，
∴M所在圓的半徑為4，
∴FH=FG=4-$\sqrt{3}$，
∵4-$\sqrt{3}$＞$\sqrt{3}$，
∴FH＞OF，
∴O在M所在圓內，
故選B．

點評 本題考查了點和圓的位置關系、垂徑定理、勾股定理、折疊的性質，要知道將弧沿所對的弦折疊時，所構成的圓與原來的圓是等圓，其圓心在這條弦的垂直平分線上，并熟練掌握點和圓的位置關系．