Question

5．如圖，△ABC中，CD⊥AB于點D，⊙D經過點B，與BC交于點E，與AB交與點F．已知tanA=$\frac{1}{2}$，cot∠ABC=$\frac{3}{4}$，AD=8．
求（1）⊙D的半徑；
（2）CE的長．

Answer 1

分析 （1）根據三角函數的定義得出CD和BD，從而得出⊙D的半徑；
（2）過圓心D作DH⊥BC，根據垂徑定理得出BH=EH，由勾股定理得出BC，再由三角函數的定義得出BE，從而得出CE即可．

解答 解：（1）∵CD⊥AB，AD=8，tanA=$\frac{1}{2}$，
在Rt△ACD中，tanA=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{1}{2}$，AD=8，CD=4，
在Rt△CBD，cot∠ABC=$\frac{BD}{CD}$=$\frac{3}{4}$，BD=3，
∴⊙D的半徑為3；
（2）過圓心D作DH⊥BC，垂足為H，
∴BH=EH，
在Rt△CBD中∠CDB=90°，BC=$\sqrt{C{D}^{2}+D{B}^{2}}$=5，cos∠ABC=$\frac{BD}{BC}$=$\frac{3}{5}$，
在Rt△BDH中，∠BHD=90°，cos∠ABC=$\frac{BH}{BD}$=$\frac{3}{5}$，BD=3，BH=$\frac{9}{5}$，
∵BH=EH，
∴BE=2BH=$\frac{18}{5}$，
∴CE=BC-BE=5-$\frac{18}{5}$=$\frac{7}{5}$．

點評 本題考查了圓周角定理、解直角三角形以及垂徑定理、勾股定理，掌握定理的內容以及用法是解題的關鍵．